Лекція: Аналіз диференціальних рівнянь
Зміст
В
1. Основні поняття
2. Завдання, призводять до диференціальних рівнянь
2.1 Рівноприскорений рух
2.2 Геометричні задачі
3. Диференціальні рівняння першого порядку
3.1 Рівняння з відокремлюваними змінними
1. Основні поняття
В
Диференційним рівнянням називається рівняння, що містить незалежну змінну х , невідому функцію y = y (X) та її похідні y ', y'',. Y ( n) F (x, y, y ', y '' ,. y (n)) = 0.
Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок входить до нього похідної. p> Рішенням диференціального рівняння називається всяка функція y = y (x), яка при підстановці в рівняння звертає його в тотожність.
Наприклад, рівняння y'' = y ' являє собою диференціальне рівняння другого порядку, а функції y (x) = C 1 e x + C 2 є його рішеннями за будь-яких постійних C 1 і C 2 .
Процедура пошуку рішення диференціального рівняння називається його інтегруванням , а графіки його рішень - інтегральними кривими .
Всяке диференціальне рівняння порядку n має незліченну безліч рішень. Всі ці рішення визначаються функцією, яка містить n довільних постійних y = П† (x, C 1 , C 2 . C n ). Ця сукупність рішень називається загальним рішенням диференціального рівняння. Приватним рішенням диференціального рівняння називається всяка функція цього сімейства, що відповідає конкретному набору постійних C 1 , C 2 . C n .
Геометрично спільне рішення диференціального рівняння являє собою сімейство інтегральних кривих площині XOY , а приватне рішення - конкретну криву цього сімейства. Наприклад, безпосереднім диференціюванням легко перевірити, що спільним рішенням диференціального рівняння y Вў y пЂ« пЂ x = пЂ 0 є функція y = . Тобто, загальне рішення рівняння - це сімейство кіл x 2 + y 2 = C 2 , а
Початковими умовами для диференціального рівняння порядку n називається набір значень функції y (x) та її похідних порядку n-1 включно y Вў (X), y Вў (x),. Y (n пЂ пЂ 1) (X) в деякій точці x 0 .
Завданням Коші називається завдання про відшукання рішення диференціального рівняння F (x, y, y Вў, y Вў,. y (n)) = пЂ 0, задовольняє заданим початковим умовам:
y ( x 0 ) = y 0 , y '( x 0 ) = y 1 , y'' ( x 0 ) = y 2 ,. y ( n-1) ( x 0 ) = y n-1 пЂ .
Геометрично це означає, що в Загалом вирішенні рівняння
y = пЂ j пЂ (x, C 1 , C 2 . C < sub> n ) необхідно так підібрати константи C 1 , C 2 . C n , щоб відповідна їм інтегральна крива проходила через точку площини (x 0 , y 0 ) і в цій точці мала задані значення всіх своїх похідних до порядку n-1 . Наприклад, рішенням задачі Коші y Вў y пЂ« пЂ x = пЂ 0, y (0) = пЂ 2 є окружність x 2 + y 2 = 4 . Щоб отримати це рішення необхідно в загальне рішення рівняння x 2 + y 2 = C 2 підставити задані початкові умови x = 0 і у = 2 і з нього знайти необхідне значення постійної C = 2.
Наведемо без доведення одну з основоположних теорем теорії ДУ.
Теорема 1. ( існування та єдиності розв'язку задачі Коші)
Якщо функція F (x, y, y Вў, y Вў,. y (n)) безперервно диференційовних в деякому області, що містить точку (x 0 , y 0 ), то в цій області існує і притому єдино рішення диференціального рівняння F (x, y, y Вў, y Вў,. y (n)) = 0, яке задовольняє заданим початковим умовам:
В
y ( x 0 ) = y 0 , y '( x 0 ) = y 1 , y'' ( x 0 ) = y 2
