sub>,. y ( n-1) ( x 0 ) = y n-1 пЂ .
2. Завдання, що призводять до диференціальних рівнянь
2.1 Рівноприскорений рух
Нехай у початковий момент часу t = 0 матеріальна точка має початкове положення S (0) = 0, початкову швидкість V (0) = V0 і далі рухається прямолінійно з постійним прискоренням a (t) = a . Якщо S (t) і V (t) - відповідно шлях, пройдений точкою за час t , і її швидкість в момент часу t , то, як відомо S Вў пЂ (t) = пЂ V (t) і V Вў (t) = пЂ a (t) = пЂ a.
Тобто, функція переміщення S (T) є рішенням диференціального рівняння S Вў Вў пЂ (t) = пЂ a . Це рішення будемо шукати, інтегруючи рівняння двічі.
В
V (t) = пЂ S Вў пЂ (t) = пЂ ГІ ; пЂ S Вў 'пЂ (t) dt = пЂ ГІ пЂ adt = пЂ at пЂ« пЂ C, V (0) = пЂ V 0 Гћ пЂ C = пЂ V 0 Гћ V ( t) = пЂ V 0 пЂ« пЂ at.
В
2.2 Геометричні завдання
Нехай, наприклад, потрібно знайти лінію, що проходить через точку А (1,2) і що володіє наступною властивістю: для будь-який її дотичній відрізок цієї дотичної, укладений між осями системи координат, в точці дотику ділиться навпіл. p> Для вирішення цього завдання позначимо через y (x) рівняння шуканої лінії і нехай M (x 0 , y 0 ) - її довільна фіксована точка. p> Дотична до кривої в цій точці має рівняння y - y (x 0 ) = y '(x 0 ) (x - x 0 )
Знайдемо ординати точок перетину цієї дотичної з осями системи координат.
В
Ясно, що x B = 0 і y C = 0. Тоді:
В
Так як x 0 - довільна точка, то шукана функція повинна задовольняти диференціального рівняння першого порядку
В
Для довільної постійної З функція задовольняє цього рівняння. Оскільки крива повинна проходити через точку А (1,2), то підставивши в це рішення x = 1 і y = 2 , отримаємо С = 2 . Рішенням задачі є гіпербола. b>
3. Диференціальні рівняння першого порядку
Диференціальне рівняння першого порядку є рівняння виду
В
F (x, y, y Вў) = пЂ 0.
Далі ми будемо вважати, що це рівняння дозволено відносно похідної: y Вў пЂ = пЂ f (x, y). Це рівняння так само можна записати в диференціальної формі:
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.
Загальних методів рішення диференціальних рівнянь першого порядку не існує, однак для деяких важливих класів функцій f (x, y) такі методи відомі і призводять до спільного рішення рівняння. Розглянемо деякі з цих класів.
3.1 Рівняння з відокремлюваними змінними
Так називається рівняння, права частина якого представляє собою твір функції, що залежить тільки від х , і функції, що залежить тільки від у .
В
Для пошуку рішення такого рівняння висловимо входить у нього похідну через диференціали і перейдемо до рівняння в диференціалах
В
Тепер розділимо змінні
В
(В останньому рівнянні змінні х і у поділяє знак рівності).
Проінтегрував обидві частини останнього рівності отримуємо загальне рішення рівняння у вигляді неявно заданої функції:
В
G (y) = F (x) + C .
Розглянемо практичний приклад: Знайти рішення рівняння
В
y '= y cos x.
Рішення . Права частина рівняння являє собою добуток двох функцій, одна з яких залежить від х , а інша від у . Отже - це рівняння з відокремлюваними змінними. Висловимо похідну через диференціали і розділимо змінні:
В
Тепер проинтегрируем обидві частини останнього рівняння:
В
Приклад 2 . Вирішити завдання Коші p> Рішення . Спочатку знайдемо спільне рішення диференціального рівняння.
В
В отримане спільне рішення підставимо задані початкові умови x = 1 і у = 1 : 0 = ln1 = acrtg1 + С = ПЂ/4 + С. Значить, приватне рішення рівняння, що задовольняє заданим початковим умовам, виходить з його загального рішення при значенні постійної С =-ПЂ/4. Рішенням задачі Коші є функція lny = acrtgx-ПЂ/4 , або y = e arctg x - ПЂ/4.
Однорідні рівня...
