ення відомо, зробимо заміну:
Знову підставимо це у вихідне рівняння Риккати:
Як видно, ми отримали рівняння Бернуллі з параметром m=2. Зробимо ще одну заміну:
Розділимо рівняння Бернуллі на z2 (вважаючи, що z? 0) і запишемо його через змінну v:
Останнє рівняння є лінійним і легко вирішується за допомогою інтегруючого множника:
Загальне рішення лінійного рівняння визначається функцією
Тепер ми будемо послідовно повертатися до попереднім змінним. Так як z=1/v, то загальне рішення для z записується таким чином:
Отже,
Можна перейменувати константу: 3C=C1 і записати відповідь у вигляді
де C1? довільне дійсне число.
Рівняння Бернули
Знайти всі рішення диференціального рівняння
Рішення.
Дане рівняння є рівнянням Бернуллі з дробовим параметром m=1/2. Його можна звести до лінійного диференціального рівняння з допомогою заміни
Похідна нової функції z (x) буде дорівнює
Розділимо вихідне рівняння Бернуллі на
Аналогічно іншим прикладам на цій веб-сторінці, корінь y=0 також є тривіальним рішенням диференціального рівняння. Тому можна записати:
Замінюючи y на z, знаходимо:
Отже, ми маємо лінійне рівняння для функції z (x). Інтегруючий множник тут буде дорівнює
Виберемо як інтегруючого множника функцію u (x)=x. Можна перевірити, що після множення на u (x) ліва частина рівняння буде являти собою похідну твори z (x) u (x):
Тоді загальне рішення лінійного диференціального рівняння буде визначатися виразом:
Повертаючись до вихідної функції y (x), записуємо рішення в неявній формі:
Отже, повну відповідь має вигляд:
Рівняння з відокремлюваними змінними
Знайти всі рішення диференціального рівняння
'=? xey.
Рішення.
Перетворимо рівняння наступним чином:
Очевидно, що розподіл на ey не приводить до втрати рішення, оскільки ey gt; 0. Після інтегрування одержуємо
Даний відповідь можна виразити в явному вигляді:
У останньому виразі передбачається, що константа C gt; 0, щоб задовольнити області визначення логарифмічної функції.
Знайти приватне рішення рівняння, при
(0)=0.
Рішення.
Перепишемо рівняння в наступному вигляді:
Розділимо обидві частини на 1 + ex:
Оскільки 1 + ex gt; 0, то при діленні ми не втратили жодних рішень. Інтегруємо отримане рівняння:
Тепер знайдемо константу C з початкової умови y (0)=0.
Отже, остаточну відповідь має вигляд:
Рівняння Клеро
Знайти загальне та спеціальне рішення диференціального рівняння
=xy + (Y ) 2
Рішення
Вважаючи y '= p, його можна записати у вигляді
Продифференцировав по змінній x, знаходимо:
Замінимо dy на pdx:
Прирівнюючи першу множник до нуля, отримуємо:
Тепер підставимо це в друге рівняння:
В результаті отримуємо загальне рішення заданого рівняння Клеро. Графічно, це рішення представляється у вигляді однопараметричного сімейства прямих. Прирівнюючи нулю другий співмножник, знаходимо ще одне рішення:
Це рівняння відповідає особливим рішенням диференціального рівняння і в параметричної формі записується як
Виключаючи p з системи, отримуємо наступне рівняння інтегральної кривої:
З геометричної точки зору, парабола
є огинаючої сімейства прямих, що визначаються спільним рішенн...
