Загальне рішення диференціального рівняння першого порядку графічно зображується сімейством інтегральних кривих, залежних від одного параметра С, - кожному значенню цього параметра відповідає певне приватне рішення, тобто певна інтегральна крива.
Метою даної курсової роботи є вивчення важливого геометричного додатки диференціальних рівнянь першого порядку - завдання про траєкторії у разі декартових координат.
Зміст курсової роботи складається з вступу і двох параграфів. У першому параграфі дається загальне поняття про траєкторії, розглядаються завдання про траєкторії на площині у випадку декартових координат при ізогональних і ортогональних траєкторіях. У другому параграфі показані деякі приклади розв'язання задач про траєкторії.
Глава 2. Необхідні теоретичні відомості
.1 Завдання про траєкторії на площині у випадку декартових координат
Як приклад одного з численних геометричних додатків диференціальних рівнянь першого порядку розглянемо задачу про траєкторії на площині у випадку декартових координат. Нехай на площині xOy дано параметричне сімейство кривих ліній, задане рівнянням виду
Ф (x, y,?)=0. (1)
Потрібно знайти диференціальне рівняння першого порядку, для якого дане сімейство було б спільним рішенням.
Рис.1
Крива (рис.1), яка перетинає всі криві L сімейства (1) під одним і тим же постійним кутом?, називається ізогональной траєкторією цього сімейства. Кутом? між кривими і L в точці їх перетину називається кут між дотичними до них в цій точці. Якщо, зокрема,
? =,
то ізогональная траєкторія називається ортогональною.
2.2 Ізогональние траєкторії сімейства
траєкторія площину ортогональний ізогональний
Знайдемо ізогональние (ортогональні) траєкторії сімейства (1).
З цією метою встановимо з початку співвідношення між кутовими коефіцієнтами дотичної до кривої сімейства (1) і до ізогональной траєкторії в точці їх перетину. Нехай М (,) - будь-яка точка на ізогональной траєкторії. Позначимо кути, утворені віссю Ox з дотичною MT до кривої L сімейства (1), походящей через точку M, і з дотичній Mк траєкторії точці M, відповідно через? і. Тоді при переміщенні точки M по траєкторії виконується співвідношення
=? +?,
Причому
tg =, tg? =. (2)
Позначимо tg? через k, тому ? =-?, Отримаємо
tg? =(3)
або
=(4)
Ця рівність і встановлює шуканий зв'язок між напрямком дотичної в будь-якій точці M траєкторії і напрямком дотичної до кривої L сімейства (1), що проходить через цю точку.
Складемо тепер диференціальне рівняння сімейства (1). Для цього виключимо параметр? з рівнянь
Ф (x, y,?)=0, +=0 (5)
Отримаємо
F (x, y,)=0 (6)
Ця рівність виконується для всіх точок області, заповненої кривими сімейства (1). Воно виконується і розглянутої нами точці M. Але в цій точці ми можемо замінити x і y на і, а на її значення з (4), так що отримаємо співвідношення
F (,,)=0, (7)
зв'язує координати будь-якої точки M траєкторії з напрямком дотичної до неї в цій точці. Отже, рівність (7) є диференціальне рівняння сімейства ізогональних траєкторій.
Отримавши диференціальне рівняння сімейства ізогональних траєкторій, ми можемо переписати його, опускаючи індекси. У підсумку ми можемо скласти наступне правило побудови ізогональних траєкторій:
1) Скласти диференціальне рівняння даного сімейства кривих.
2) Замінити в отриманому рівнянні на (k=tg?) і отримати диференціальне рівняння ізогональних траєкторій.
3) Вирішити нове диференціальне рівняння і знайти алгебраїчне рівняння сімейства ізогональних траєкторій.
.3 Ортогональні траєкторії сімейства
Розглянемо випадок коли
? =,
тоді
tg? =Tg (-)=- tg (- -)=- ctg=-.
Отже замість співвідношення (4) будемо мати
=- (8)
Замінюючи тепер в (6) x, y, відповідно на, і - отримаємо диференціальне рівняння сімейства ортогональних траєкторій:
F (,, -)=0 (9)
Отримавши диференціальне рівняння сімейства ортогональних траєкторій, ми можемо переписати його, опускаючи індекси. У підсумку ми можемо скласти наступне правило побудови ортогональних траєкторій:
1) Скласти диференціальне рівняння даног...
