/p>
Нагадаємо, що дві функції? (x) і? (x) називаються ортогональними на відрізку [a, b] (або в інтервалі (a, b)), якщо
При цьому передбачається, що
Система функцій {? n (x), n=0,1,2, ...} - ортогональна на відрізку [a, b] (або в інтервалі (а, b)), якщо
Тут тожe передбачається, що
Іншими словами, система функцій {? n (x), n=0, 1, 2, ...} ортогональна на відрізку [a, b], якщо всі функції попарно ортогональні. Число
називається нормою функції? n (x). Якщо всі функції? N (x) мають одиничну норму і система ортогональна на [a, b], то така система функцій називається ортонормованій.
) Теорема разложимости Стеклова.
Теорема: всяка функція F з МL розкладається в рівномірно і абсолютно сходитися ряд по власних функціях задачі Штурма-Ліувілля {xn}:
.
) Система функцій {xn} задачі Штурма-Ліувілля є повною.
Доказ тверджень 1, 4 і 5 грунтується на теорії інтегральних рівнянь.
Теорема Стеклова говорить про те, що всяка безперервна функція f (x), яка задовольняє однорідним крайовим умовам: l1f=0 і l2f=0, і має безперервні похідні до другого порядку на відрізку [а, l], розкладається на цьому відрізку в сходитися ряд Фур'є за власними функціями Xn (х) задачі Штурма-Ліувілля {L? x=0, l1 x=0, l2 x=0}:
де коефіцієнти Фур'є Сn обчислюються за формулами:
Розглянемо окремо випадки, коли параметр негативний, дорівнює нулю або позитивний.
. При задача не має нетривіальних рішень. Дійсно, загальний розв'язок рівняння (1.6) має вигляд:
граничні умови дають:
У розглянутому випадку - дійсно і позитивно, так що
.
Тому
. При також не існує нетривіальних рішень. Дійсно, в цьому випадку загальний розв'язок рівняння (1.6) має вигляд:
граничні умови дають
3. При загальний розв'язок рівняння може бути записано у вигляді:
Граничні умови
Якщо не дорівнює 0, то тому
Отже, нетривіальні рішення задачі (1.8) можливі при значеннях, де к - будь-яке ціле число. Цим власним значенням відповідають власні функції:
довільна постійна.
Отже, тільки при значеннях рівних існують нетривіальні рішення задачі (1.8)
,
визначаються з точністю до довільного множника, який ми поклали рівним 1. Цим самим значенням відповідають рішення рівняння (1.7).
Тепер знайдемо рішення рівняння (1.7), відповідні знайденим
Подействуем на обидві частини (1.7) оператором дробового інтегрування порядку
В результаті отримуємо інтегральне рівняння Вольтерра 2-го роду.
Так як [11]:
де, то отримуємо
Далі скористаємося наступною теоремою з [2].
Теорема. Нехай функція f (x) належить класу Тоді інтегральне рівняння
де похідний комплексний параметр, має єдине рішення
належить класу
- функція Міттаг-Лефлера.
Нехай тоді
Обчислимо інтеграли, що входять в рівність (1.9)
Так як
Те
Введемо нову змінну
тоді
Аналогічно для маємо:
Остаточно (1.9) перепишеться у вигляді:
, або:
Таким чином, інтегральне рівняння має єдине рішення, представимое у вигляді (1.10).
Повертаючись до вихідній задачі укладаємо, що функції
задовольняють рівнянню (1.1), і є приватними рішеннями рівняння (1.1).
Звернемося тепер до вирішення завдання (1.1) - (1.3) в загальному випадку. Складемо ряд
.
Функція задовольняє граничним умовам, так як їм задовольняють всі члени ряду.
Зажадаємо, щоб наша функція задовольняла початковим даними:
Перетворимо суму
Обчислимо похідну
Підставляючи в початкова умова отримаємо:
Таким чином, отримуємо:
т.е.
Вимагаючи виконання 2-го початкової умови, отримаємо:
т.е.
Таким чином, для виконання початкових умов знаходимо:
