яких задані точно (раціональними числами), і точно проводити обчислення (за правилами дій з звичайними дробами), то в результаті буде отримано точне значення коефіцієнтів характеристичного многочлена, і координати власних векторів виявляться вираженими точними формулами через власні значення.
Зазвичай власні вектори матриці вдається визначити, використовуючи проміжні результати обчислень, проведених для визначення коефіцієнтів характеристичного многочлена. Для визначення того чи іншого власного вектора, що належить власному значенню, це власне значення має бути вже обчислено.
Методи вирішення другого завдання - ітераційні. Тут власні значення виходять як межі деяких числових послідовностей, так само, як і координати належних їм власних векторів. Т.к. ці методи не вимагають обчислення коефіцієнтів характеристичного многочлена, то він менш трудомісткі.
Деякі властивості власних значень векторів:
Все n власних значень будь симетричною матриці (a ij=a ji; i, j=1,2, ..., n) речовинні.
Власні вектори, що відповідають різним власним значенням симетричною матриці, ортогональні:
, при,
, при.
Власний вектор матриці, помножений на довільне число, також є власним вектором.
Подібні матриці
, де P - неособо матриця, мають однакові власні значення, їх власні вектора пов'язані співвідношенням:
Характеристичне рівняння
вирішується раніше викладеними методами вирішення нелінійних рівнянь. Однак завдання ускладнюється тим, що серед власних значень часто зустрічаються кратні. Крім того, для довільної матриці непросто обчислити самі коефіцієнти характеристичного многочлена.
Низка завдань вимагає знаходження тільки найбільшого або найменшого власних значень. У загальному випадку ставиться завдання про знаходження всіх власних значень і власних векторів, тобто повна проблема власних значень.
Припустимо, що поставлена ??задача визначення найбільшого власного числа матриці і найбільшого власного вектора при ньому. Найбільш підходящим методом для знаходження найбільшого власного числа і власного вектора є метод ітерацій.
1.2 Метод ітерацій
Для вирішення часткової проблеми власних значень (відшукання найбільших і найменших власних чисел), застосовується метод простої ітерації рішення систем рівнянь
За допомогою ітераційних методів можна визначити найбільшу за модулем власне число матриці A без розкриття визначника.
Отже, нехай
характеристичне рівняння;- Його коріння, є власними значеннями матриці. Припустимо, що
,
т.е. найбільшу за модулем власне число. Тоді для знаходження наближеного значення кореня використовується наступна схема:
довільно вибирають початковий вектор Y;
складають послідовні ітерації
вибирають з цієї послідовності два останні значення, і приймають за найбільше власне число таке співвідношення, де - відповідні координати векторів.
Таким чином, взявши досить великий номер ітерації m, можна з будь-яким ступенем точності обчислити найбільший по модулю корінь характеристичного рівняння матриці. Для знаходження цього кореня може бути використана будь координата вектора, зокрема можна взяти середнє арифметичне відповідних відносин для різних координат.
1.3 Метод Леверрье-Фаддеева
Цей метод відноситься до групи тих, які вирішуються методами розгортання визначників. Цей метод був запропонований Леверрье і спрощений радянським математиком Фаддєєва. Метод Леверрье заснований на формулах Ньютона для сум ступенів коренів алгебраїчного рівняння і полягає в наступному. Нехай
характеристичний многочлен матриці, і - повна сукупність коренів характеристичного многочлена. Розглянемо суми:
,,
інакше:
(кожна сума є слід матриці). Тоді при справедливі формули Ньютона:
звідки отримуємо:
при
при
при
Отже, коефіцієнти характеристичного многочлена можна легко визначити, якщо відомі суми.
Таким чином, схема розкриття характеристичного многочлена полягає в наступному:
обчислюють ступеня
визначають - суми елементів головних діагоналей матриць;
по вищенаведеним формулами Ньютона знаходимо коефіцієнти.
Видозмінений метод Леверрье, запропонований Фаддєєва, полягає в обчисленні послідовності матриць за наступною схемою:
1.3.1 Основні пункти алгоритму методу Леверрье-Фаддее...
