і, формула для знаходження напруги на конденсаторі буде мати вигляд:
Підставами в рівняння Кірхгофа значення, і uR (t)=Y (t).
наведемо подібні доданки:
Далі, продифференцируем обидві частини рівняння.
Розділимо обидві частини рівняння на 2, щоб коефіцієнт при старшій похідній відсутній;
У результаті, отримано диференціальне рівняння для опису вихідного сигналу схеми, зазначеної на малюнку 1:
Рішення диференціального рівняння при заданих початкових умовах
Моделювання процесів, що протікають в схемі, полягає в пошуку рішень рівняння, що описує дану схему.
Математична модель - це подання якого-небудь об'єкта за допомогою математичної символіки в деякому середовищі.
Моделювання - дослідження об'єктів пізнання на їх моделях; Побудова і вивчення моделей реально існуючих об'єктів, процесів або явищ з метою отримання пояснень цих явищ, а також для передбачення явищ, що цікавлять дослідника.
Нижче представлена ??програма, написана за допомогою засобу MathCad, яка вирішує однорідне диференціальне рівняння першого порядку, при вхідному сигналі e (t)=0; і початкових умовах Y (0)=1.
Рис. 1. Графік зміни вхідного (e (t)) і вихідного (Y (t)) напруги схеми
Висновок
функція електричний гаус імпульс
При певних початкових умов на обкладинках конденсатора мається енергія, у вигляді електромагнітного поля, що створює струм в ланцюзі. Навантаження R утворила прохід між пластинами. Негативно заряджені електрони, накопичені на одній пластині, згідно силі тяжіння між різнойменними зарядами, рушать у бік позитивно заряджених іонів на іншій пластині. Напруга uс викликає в ланцюзі струм i, і конденсатор починає розряджатися за експоненціальним законом.
Рішення диференціального рівняння при вхідній дії одиничним стрибком (функція Хевісайда).
Перехідний характеристикою ланцюга є сигнал на її виході, при подачі на вхід одиничний скачок (функцію Хевісайда).
Так як в диференціальному рівнянні для даної схеми присутній похідна вхідного сигналу, а результатом диференціювання одиничного стрибка буде дельта-функція, яку неможливо розрахувати в середовищі MathCad, то рішення зводиться до завдання початкових умов. У момент різкого стрибка вхідної напруги, напруга на конденсаторі стрибком змінитися не може, зате з'явиться струм, що протікає через конденсатор, тому опір в цей момент дуже маленьке. Значить, напруга буде визначатися тільки опорами R. За законом Ома, в послідовному ланцюзі, напруги складаються, значить, вихідний сигнал буде дорівнює половині вхідного. Вхідним є одиничний скачок, значить Y (0) дорівнюватиме 1/2.
Потім, конденсатор заряджатиметься, збільшуючи напругу на обкладках, і відповідно зменшуючи струм в ланцюзі, до тих пір, поки не зарядитися. Як тільки напруга на конденсаторі досягне максимуму, струм в ланцюзі пропаде. Програма, що відображає перехідну характеристику, виглядає наступним чином:
Рис. 2. Перехідна характеристика ланцюга. Вхідний сигнал - Ф (t) і вихідний - Y (t).
Висновок
З часом, у міру зарядки конденсатора струм зменшується і напруга на ємності зростає, а напруга на опорі падає.
Рішення диференціального рівняння при заданому вхідному впливі (Гаусів імпульс)
Промоделюємо схему, при подачі на вхід імпульсу Гаусса.
Програма виглядає наступним чином:
Рис. 3. Графік зміни вхідного (e (t)) і вихідного (Y (t)) напруги на виході схеми e (t) - Гаусів імпульс (нульова функція Ерміта) і, Y (t) - перша функція Ерміта
Висновок
Струм IС через ємкість пропорційний похідною прикладеного до неї напруги
таким чином, вихідна напруга (на резисторі) одно iC * R. Значить, вихідний сигнал буде похідної, і відображає швидкість зміни напруги вхідного сигналу.
З ростом ЕРС (e (t)) напруга на конденсаторі зростає, із зменшенням ЕРС, струм через конденсатор починає текти у зворотній бік, і напруга на конденсаторі стає негативним.
Вихідний сигнал має затримку за часом, що зумовлено постійною RC, тобто необхідно час, для заряду і розряду конденсатора.
