ЗМІСТ
ВСТУП
Глава 1. Площина в просторі
. 1 Точка перетину прямої з площиною
. 2 Кут між прямою і площиною
Глава 2. Пряма в просторі
. 1 Різні випадки положення прямої в просторі
. 2 Кут між прямою і площиною
ВИСНОВОК
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
ВСТУП
Усяке рівняння першого ступеня щодо координат x, y, z
+ By + Cz + D=0
задає площину, і навпаки: всяка площину може бути представлена ??рівнянням, що називається рівнянням площини.
Вектор n (A, B, C), ортогональний площині, називається нормальним вектором площині. У рівнянні коефіцієнти A, B, C одночасно не рівні 0. Особливі випадки рівняння
. D=0, Ax + By + Cz=0 - площина проходить через початок координат.
. C=0, Ax + By + D=0 - площина паралельна осі Oz.
. C=D=0, Ax + By=0 - площина проходить через вісь Oz.
. B=C=0, Ax + D=0 - площина паралельна площині Oyz.
Рівняння координатних площин: x=0, y=0, z=0.
Пряма в просторі може бути задана:
) як лінія перетину двох площин, т.е. системою рівнянь:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1=0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2=0;
) двома своїми точками M 1 (x 1, y 1, z 1) і M 2 (x 2, y 2, z 2), тоді пряма, через них проходить, задається рівняннями:
=;
) точкою M 1 (x 1, y 1, z 1), їй належить, і вектором a (m, n, р), їй колінеарним. Тоді пряма визначається рівняннями:
Рівняння називаються канонічними рівняннями прямої.
Вектор a називається напрямних вектором прямої.
Параметричні рівняння прямої отримаємо, прирівнявши кожне з відносин параметру t:
=x 1 + mt, y=y 1 + nt, z=z 1 + рt.
Вирішуючи систему як систему лінійних рівнянь щодо невідомих x і y, приходимо до рівнянь прямої в проекціях або до наведених рівнянням прямої:
=mz + a, y=nz + b
Від рівнянь можна перейти до канонічним рівнянням, знаходячи z з кожного рівняння і прирівнюючи отримані значення:
Від загальних рівнянь (3.2) можна переходити до канонічним і іншим способом, якщо знайти яку-небудь точку цієї прямий і її спрямовує вектор n=[n 1, n 2], де n 1 (A 1 , B 1, C 1) і n 2 (A 2, B 2, C 2) - нормальні вектори заданих площин. Якщо один з знаменників m, n або р в рівняннях (3.4) виявиться рівним нулю, то чисельник відповідної дробу треба покласти рівним нулю, тобто система
рівносильна системі; така пряма перпендикулярна до осі Ох.
Система рівносильна системі x=x 1, y=y 1; пряма паралельна осі Oz.
Мета курсової роботи: вивчити пряму і площину в просторі.
Завдання курсової роботи: розглянути площину в просторі, її рівняння, а також розглянути площину в просторі.
Структура курсової роботи: вступ, 2 розділи, висновок, список використаних джерел.
Глава 1. Площина в просторі
.1 Точка перетину прямої з площиною
Нехай площину Q задана рівнянням загального типу: Ax + By + Cz + D=0, а пряма L в параметричному вигляді: x=x 1 + mt, y=y 1 + nt, z=z 1 + pt, тоді щоб знайти точку перетину прямої L і площини Q, потрібно знайти значення параметра t, при якому точка прямої буде лежати на площині. Підставивши значення x, y, z, в рівняння площини і висловивши t, отримаємо
Значення t буде єдиним, якщо пряма і площина не паралельні.
Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини
Розглянемо пряму L:
і площину?:
+ By + Cz + D=0.
Пряма L і площину?:
а) перпендикулярні один одному тоді і тільки тоді, коли направляючий вектор прямої і нормальний вектор площини колінеарні, т. е.
б) паралельні один одному тоді і тільки тоді, коли вектори і перпендикулярні, т. е.
і Am + Bn + Ср=0.
