ign="justify">
.2 Кут між прямою і площиною Кут? між нормальним вектором площини і спрямовуючим вектором прямої обчислюється за формулою:
Пучок площин
Сукупність усіх площин, що проходять через задану пряму L, називається пучком площин, а пряма L - віссю пучка. Нехай вісь пучка задана рівняннями
Почленно помножимо друге рівняння системи на постійну і складемо з першим рівнянням:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 +? (A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2)=0.
Це рівняння має першу ступінь відносно х, у, z і, отже, при будь-якому чисельному значенні? визначає площину. Оскільки дане рівняння є наслідок двох рівнянь, то координати точки, що задовольняють цим рівнянням будуть задовольняти і даному рівнянню. Отже, при будь-якому чисельному значенні? дане рівняння є рівняння площини, що проходить через задану пряму. Отримане рівняння є рівняння пучка площин .
Приклад. Написати рівняння площини, що проходить через точку M 1 (2, - 3, 4) паралельно прямим
Рішення. Запишемо рівняння зв'язки площин, що проходять через дану точку M 1:
А (х - 2) + В (у + 3) + C (z - 4)=0.
Так як шукана площину повинна бути паралельна даними прямим, то її нормальний вектор повинен бути перпендикулярний напрямних векторах цих прямих. Тому в якості вектора N можна взяти векторний добуток векторів:
Отже, А=4, В=30, С=- 8. Підставляючи знайдені значення А, В, С в рівняння зв'язки площин, отримаємо
4 (x - 2) +30 (y + 3) - 8 (z - 4)=0 або 2x + 15у - 4z + 57=0.
Приклад. Знайти точку перетину прямої і площини 2х + 3y - 2z + 2=0.
Рішення. Запишемо рівняння даної прямої в параметричному вигляді:
Підставами ці вирази для х, у, z в рівняння площини:
(2t + 1) +3 (3t - 1) - 2 (2t + 5) + 2=0? t=1.
Підставами t=1 в параметричні рівняння прямої. Отримаємо
Отже, пряма і площину перетинаються в точці М (3, 2, 7).
Приклад. Знайти кут? між прямою і площиною 4x - 2y - 2z + 7=0. Рішення. Застосовуємо формулу (3.20). Так як
то
Отже,? =30 °.
Глава 2. Пряма в просторі
Пряма лінія в просторі нескінченна, тому здавати її зручніше відрізком. Зі шкільного курсу Евклідовій геометрії відома аксіома, «через дві точки в просторі можна провести пряму і, притому, тільки одну». Отже, на епюрі пряма може бути задана двома фронтальними і двома горизонтальними проекціями точок. Але так як пряма - це пряма (а не крива), то з повною підставою ми можемо поєднати ці точки відрізком прямої і отримати фронтальну і горизонтальну проекції прямої (рис. 13).
Доказ від зворотного: у площинах проекцій V і Н задані дві проекції а b і ab (рис.14). Проведемо через них площині, перпендикулярні до площин проекцій V і Н (рис.14), лінією перетину площин буде пряма АВ.
.1 Різні випадки положення прямої в просторі
У розглянутих нами випадках прямі не були ні паралельними, ні перпендикулярними до площин проекцій V, Н, W. Більшість прямих займає саме таке положення в просторі і їх називають прямими загального положення. Вони можуть бути висхідними або спадними (розібратися самостійно).
На рис. 17 показана пряма загального положення, задана трьома проекціями. Розглянемо сімейство прямих, що володіють важливими властивостями - прямі, паралельні якоїсь площини проекцій.
На рис. 17 показана пряма загального положення, задана трьома проекціями.
Розглянемо сімейство прямих, що володіють важливими властивостями - прямі, паралельні якоїсь площини проекцій.
а) Горизонтальна пряма (інакше - горизонталь, пряма горизонтальному рівні). Так називається пряма, паралельна горизонтальній площині проекцій. Її зображення в просторі і на епюрі показано на рис. 18.
Горизонталь легко впізнати на епюрі «в обличчя»: її фронтальна проекція завжди паралельна осі ОХ. Повністю найважливіша властивість горизонталі формулюються так:
У горизонталі - фронтальна проекція паралельна осі ОХ, а горизонтальна відображає натуральну величину. Попутно горизонтальна пр...
