кладання:
(1.15)
(1.16)
причому в силу аналітичності лівих частин обидва розкладання справедливі при будь-яких комплексних значеннях z і w.
За допомогою розкладання (1.13) неважко отримати рекурентне співвідношення для многочленів Чебишева-Ерміта. Справді, функція (1.10) задовольняє умові
,
яке в силу (1.13) можна представити у вигляді
Отже, сума всіх коефіцієнтів при t в ступені n дорівнює нулю, тобто маємо
(1.17)
Таке рекурентне співвідношення для стандартизованих многочленів Чебишева-Ерміта.
Далі знаходимо коефіцієнт у формулі Крістоффеля-Дарбу
Cледовательно, формула Крістоффеля-Дарбу для ортонормованих многочленів Чебишева-Ерміта має вигляд
(1.18)
допомогою рівності (1.7) отримуємо аналогічну формулу для стандартизованих многочленів
(1.19)
Переходимо до висновку диференціального рівняння для многочленів Чебишева-Ерміта.
Диференціюючи функцію по x, отримаємо
яке можна представити у вигляді
(1.20)
З іншого боку, з рівності (3) випливає представлення
за допомогою якого рівняння (1.20) приводиться до вигляду
Виконуючи операції диференціювання, знаходимо
Опускаючи експотенціальний множник і приводячи подібні члени, отримаємо диференціальне співвідношення
(1.21)
Оскільки всі попередні рівності виконувалися тотожно, то, отже, стандартизований многочлен Чебишева-Ерміта порядку n задовольняє диференціальному рівнянню
y - 2xy + 2ny=0. (1.22)
Зрозуміло, цьому ж рівняння задовольняє і многочлени і, бо від многочлена вони відрізняються лише постійними множниками.
Продовжимо розгляд основних властивостей многочленів Чебишева-Ерміта. Доведемо, що для стандартизованих многочленів має місце формула
(1.23)
яка дозволяє обчислювати ці многочлени за допомогою тільки алгебраїчних операцій. Але спочатку методом індукції встановимо рівність
(1.24)
При малих n=0, 1, 2 це рівність перевіряється безпосередньо. Допусти, що воно вірно при деякому n і продифференцируем його почленно. У результаті отримаємо
(1.25)
Коефіцієнт при 2x в ступені n + 1-2k, де 0 lt; k lt; [n/2], дорівнює
(1.26)
Висновок формули (1.26) непридатний у разі k=0, бо друга сума в рівності (1.25) не містить 2x в ступені n + 1, але сама формула (1.26) справедлива і для старшого коефіцієнта, так як в силу (1.24) цей коефіцієнт дорівнює. Що стосується коефіцієнта при наймолодшій ступеня 2x, то у випадку парного n, тобто за умови n=2m, формула (1.26) справедлива разом з виведенням її. А якщо n=2m + 1, то нульова ступінь величини 2x міститься тільки в другій сумі і коефіцієнт її (фактично вільний член) дорівнює
т.е. формула (1.26) справедлива і в цьому випадку, бо за умови n=2m + 1 число n + 1=2m + 2 є парним у формулі (1.24) останній доданок має номер m + 1.
Таким чином, рівність (1.24) доведено. За допомогою цієї рівності з формули Родріга (1.3) виходить подання (1.23).
Формулу (1.23) зручно розглядати окремо для парних і непарних номерів n. Оскільки символ [n/2] означає цілу частину числа n/2, то з (1.23) знаходимо формули
(1.27)
(1.28)
За допомогою цих формул неважко обчислити значення стандартизованих многочленів Чебишева-Ерміта та їх похідних в окремих точках. Наприклад, маємо рівності
(1.29)
(1.30)
(1.31)
. Застосування многочленів Чебишева-Ерміта в квантовій механіці
Як відомо, у квантовій механіці велику роль відіграє рівняння Шредінгера
(2.1)
Де функція, звана хвильової функцією, визначає рух елементарної частинки в деякому силовому полі, - маса цієї частинок, E...
