ають повороту осей по годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки. При цьому головні осі займають одне і те ж положення, але спрямовані в протилежні сторони.
При визначенні положення головних осей потрібно залишити одну систему знаків, конкретизувавши у своїй напрямки осей.
1.3.1 Обчислення напрямних косинусів
Для визначення напрямних косинусів, відповідних осі, вздовж якої діє напруга, підставимо в (14) і (15); при цьому з (14) візьмемо перші два рівняння (можна взяти будь-які два):
(16)
Спочатку знайдемо відносини між напрямними косинусами; для цього систему рівнянь приведемо до вигляду:
(17)
Вирішуючи підсистему, що складається з перших двох рівнянь, отримаємо:
. (18)
Підставляючи ці вирази в третє рівняння (17), знайдемо:
, (19)
звідки
.
На цьому етапі рішення задачі можна у вибрати будь-який знак. Приймемо. Підставляючи це значення в (18), отримаємо:
. (20)
Кути, які становить перша головна вісь тензора напруг з вихідними осями координат, знаходяться обчисленням функції від
. br/>
Обчислення
Підставляючи в (14) і (15) і використовуючи ті ж два рівняння з (14) (можна і інші), отримаємо:
(21)
Вирішуючи цю систему рівнянь в тій же послідовності, як і в п. 3.2.1, отримаємо:
.
Тут як і раніше знак у прийнятий позитивним, а знаки інших напрямних косинусів визначилися рішенням підсистеми з перших двох рівнянь (21).
Кути, які становить друга головна вісь з вихідними осями координат, поки обчислювати не будемо. Може виявитися, що визначник матриці напрямних косинусів буде дорівнює -1 , що відповідає лівій системі координат. Для тог, щоб отримати праву систему координат, потрібно буде в однієї з осей змінити знаки напрямних косинусів.
1.3.2 Обчислення
Підставляючи в (14) і (15) і використовуючи ті ж рівняння, отримаємо:
(22)
Вирішуючи цю систему, отримаємо:
.
Відповідні кути рівні:
.
1.4 Перевірка правильності обчислення головних напруг і положення головних осей тензора напружень
В
Перевірка правильності обчислення головних напружень
Для перевірки правильності обчислених головних напруг визначимо інваріанти тензора напруг:
В
Як бачимо, інваріанти вийшли такими ж, як і в виразах (1). Цей результат також підтверджує висновок про те, що напружений стан у точці навантаженого тіла єінваріантні об'єктом.
Перевірка правильності обчислення положення головних осей тензора напружень
Перевірка правильності обчислення положення головних осей тензора напружень заснована на властивостях матриці напрямних косинусів (13). Вона відноситься до ортогональним матрицям і володіє наступними властивостями:
1. Визначник ортогональної матриці дорівнює одиниці.
2. Сума квадратів елементів, входять у кожну рядок (стовпець) дорівнює одиниці.
3. Якщо розглядати кожен рядок матриці як вектор-рядок, а кожен стовпець - як вектор-стовпець, то скалярні твори двох різних векторів-рядків (векторів-стовпців) дорівнюють нулю.
Скористаємося першим властивістю ортогональних матриць.
Підставивши в (13) обчислені напрямні косинуси, отримаємо;
. (23)
Визначник цієї матриці дорівнює одиниці:
.
Так як визначник вийшов рівним 1 , то система координат - права. Тому знаки напрямних косинусів залишаються без зміни. br/>
.
Відповідні кути будуть рівні:
.
1.5 Обчислення максимальних дотичних напружень, повного, нормального і дотичного напруг по заданій майданчику
В
Обчислення максимальних дотичних напружень
У теорії пружності доводиться, що максимальні дотичні напруження діють по двох взаємно перпендикулярних площадках, розташованим під до головних майданчикам, за якими діють головні нормальні напруження і. table>
В
В
Рис. 1. Максимальні дотичні напруження
Обчислення повного, нормального і дотичного напружень по майданчику із заданими напрямними косинусами
Напрямні косинуси нормалі до заданої майданчику дорівнюють:
В
Проекції повної напруги, діючого на заданій майданчику, на координатні осі знайдемо за формулами:
(24)
В В
Повна напруга на цьому майданчику знайдемо за формулою:
.
Нормальна напруга по цьому майданчику визначимо, спроектувавши координатні складові на нормаль до майданчика:
.
...
