sup> E T | = | T -1 P- О» E T | = | T -1 | | P- О» E T | | T | = | P- О» E T |
Отже, при переході до нового базису власні числа зберігаються.
Приклад. Знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора, заданого матрицею P = в просторі R 2 .
Рішення. Складемо характеристичне рівняння:
| P - О» В· E | == О» 2 -5 О» +4 = 0
З квадратного рівняння знайдемо власні значення лінійного оператора О» 1 = 1, О» 2 = 4. Щоб знайти власні вектори, вирішимо матричні рівняння:
(P - О» 1 E ) X = 0 і (P - О› 2 E ) X = 0
У розгорнутому вигляді
і
Відповідні однорідні системи:
В
Загальні рішення систем:
і, де з 1 , з 2 є R
Таким чином, безліч власних векторів, що відповідають власним значенням О» 1 = 1, О» 2 = 4, має вигляд;, де з 1 , з 2 є R. Вектори a 1 = (1, 1), a 2 = (-2, 1), наприклад, є лінійно незалежними. Вони можуть бути прийняті в якості нового базису в просторі R 2 .
Нехай e 1 , e 2 , ..., e n - власні вектори лінійного оператора в просторі R n , які приймемо в якості базису. Тоді розкладання векторів (e 1 ), (e 2 ), ..., (E n ) по базису e 1 , e 2 , ..., e n прийме вигляд
В
Звідси випливає, що a ij = О» i , якщо i = j і a ij = 0, якщо i в‰ j. Тому в базисі, складеному з власних векторів, матриця оператора буде мати діагональний вигляд:
В
Симетричний оператор
Визначення. Лінійний оператор в евклідовому просторі R n називається симетричним, якщо для будь-яких векторів x і y з простору R n виконується рівність
((x), y) = (x, (y))
Для того щоб лінійний оператор був симетричний, необхідно і достатньо, щоб його матриця в ортонормированном базисі була симетрична.
Розглянемо для простоти евклидово простір R 2 . Нехай у ортобазісе e 1 , e 2 задані вектори x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ). Лінійні оператори 1 і 2 визначені своїми матрицями:
і.
Обчислимо вектори 1 (x) і 2 (y):
,
.
Знайдемо скалярні твори ((x), y) і (x, (y)):
( (x), y) = (a 11 x 1 + a 12 x 2 ) y 1 + (a 21 x 1 + a 22 x 2 )
(x, (y)) = (b 11 y 1 + b 12 y 2 ) x 1 + (b 21 y 1 + b 22 y 2 )
Знайдемо різницю скалярних творів:
В
( ( x ), y ) - ( x , ( y )) = ( a 11 - b 11 ) x 2 y 2 .
Якщо для будь-яких векторів x і y з простору R 2 рівність
В
(( x ), y ) - ( x , ( y )) = 0 (3)
Виконано (необхідність), то вірна система
a 11 = b 11 ,
a 21 = b 12 ,
a 12 = b 21 , (4)
a 22 = b 22 ,
і назад: якщо умови (4) дотримані для будь-яких векторів x і y, то рівність (3) виконано (достатність). Система рівностей (4) означає, що 1 = 2 =.
Ортогональность власних векторів
Власні вектори симетричного лінійного оператора, які відповідають різним власним числам, взаємо ортогональні.
Нехай x і y - власні вектори оператора, відповідні власним числах О» 1 і О» 2 , причому О» 1 в‰ О» 2 . За визначенням симетричного оператора:
((x), y) = (x, (y))
Підставивши сюди праві частини рівності ((x)) = О» 1
