нту и того
.
За відомою Густиня сумісного розподілу інтегральну функцію сумісного розподілу можна візначіті за формулою
(1.6)
Приклад 1. Знайте інтегральну функцію сумісного розподілу системи Випадкове величин, ЯКЩО відома Густина сумісного розподілу
.
Розв'язування . За формулою (1.6)
В В
.
ВРАХОВУЮЧИ, что (властівість 3), для Густиня сумісного розподілу можна записатися Рівність нормування
.
Ймовірність попадання віпадкової точки у довільну область (рис.1.3) обчіслюється за формулою
, (1.7)
яка Одразу слідує з Означення Подвійного інтеграла
Приклад 1.5. Система Випадкове величин задана Густиня сумісного розподілу
.
знайте ймовірність попадання віпадкової точки у прямокутник з вершинами,,,.
Розв'язування . За формулою (1.7)
В
.
.
Функції
, (1.8a)
. (1.8b)
є інтегральнімі функціямі розподілу компонент системи двох неперервно величин.
Приклад 1.6. Система Випадкове величин задана Густиня сумісного розподілу
.
знайте інтегральні Функції компонент.
Розв'язування . За формулою (1.8А)
В
.
За формулою (1.8б)
В
.
За відомою Густиня сумісного розподілу ймовірностей системи двох Випадкове величин можна обчісліті Густиня розподілу кожної ее компоненти:
(1.9a)
(1.9b)
Доведення . З Означення Густиня розподілу компоненти та з врахування (1.8a)
.
Аналогічно для Другої компоненти:
В
Приклад 1.7. Двовімірній вектор заданий Густиня сумісного розподілу
В
знайте Густиня розподілів компонент X та Y .
Розв'язування . За формулою (1.9а) при
,
и прі. Отже,
В
За формулою (1.9b) при
,
и прі. Отже,
В
Діскретні віпадкові двовімірні Вектори однозначно візначаються такоже умовно розподіламі компонент X, Y :
,
- умовна ймовірність події за умови того, что Подія Вже настала,
- умовна ймовірність події за умови, что Подія Вже настала.
За теоремою множення ймовірностей залежних подій
, (1.10а)
(),
, (1.10b)
().
Приклад 1.8. Звітність, обчісліті Умовні розподілі компоненти X системи Випадкове подій Із суміснім розподілом
y 1 y 2
В
прі.
Розв'язування . Імовірність події () за формулою (1.1b). <В
За формулою (1.10а)
,
,
.
Умовний Розподіл компоненти X при
В
Імовірність події () За формулою (1.1b). p>.
За формулою (1.10а)
,
,
.
Умовний Розподіл компоненти X при
.
Імовірність події () За формулою (1.1a)
.
За формулою (1.10b)
,
.
Умовний Розподіл компоненти Y при
.
Імовірність події () За формулою (1.1a)
.
За формулою (1.10b)
,
.
Умовний Розподіл компоненти Y при
В
Імовірність події () За формулою (1.1a)
.
За формулою (1.10b)
В
,
.
Умовний Розподіл компоненти Y при
.
Умовні Густиня розподілу компонент системи двох неперервно Випадкове величин візначаються рівностямі
, (1.11a)
, (1.11b)
- умовна Густина розподілу ймовірності компоненти X при фіксованому значенні, - умовна Густина розподілу ймовірності компоненти Y при фіксованому значення.
Приклад 1.9. Двовімірній вектор завдань Густиня сумісного розподілу
.
знайте Умовні розподілі компонент X та Y .
Розв'язування . в крузі радіуса r и того за формулою (1.11a)
В
при i
прі.
У підсумку
В
Аналогічно за формулою (1.11b)
В
Як и будь-які Інші Густиня розподілу, Умовні ймовірності мают Такі Властивості
В
,
.
Дві віпадкові Величини є Незалежності , ЯКЩО закон розподілу однієї з них не залежиться від Значення Іншої. Умовні розподілі незалежних величин дорівнюють їх розподілам:
В
для неперервно величин и
.
для дискретних Випадкове величин.
Необхідною та Достатньо умів незалежності Випадкове величин є
, (1.12а)
...
