Задача 1.16
Довести спільність системи лінійних рівнянь і вирішити її двома методами:
) методом Крамера,
) методом Гаусса,
В
Рішення:
Система є спільною, якщо визначник матриці, складеної з її коефіцієнтів, що не дорівнює 0
В
. Метод Крамера. br/>В
Де? - Визначник матриці, складений з коефіцієнтів системи;? 1,? 2,? 3 - визначники матриць, складених з коефіцієнтів системи при заміні відповідного стовпця на стовпець вільних коефіцієнтів. p>? = - 10
В В В
Звідси
В
. Метод Гаусса. Заснований на перетвореннях, які не змінюють безліч рішень системи:
перестановка рівнянь;
множення рівняння на число, відмінне від нуля;
заміна рівняння на суму цього рівняння і іншого з цієї ж системи.
допомогою цих перетворень наводимо систему до трикутного вигляду.
В
Множимо друге рівняння на 3 та складаємо з першим. Множимо перше рівняння на 2, третє - на (- 3) і складаємо їх
В
Множимо третє рівняння на 4 і складаємо з другим.
В
Ми привели систему до трикутного вигляду. Звідси отримуємо рішення:
В В
Задача 2.16
Знайти загальний і одне приватне рішення системи лінійних рівнянь
В
Рішення:
Знайдемо ранг матриці
В
віднімемо з третього рядка першу, потім помножимо другий рядок на 2 і віднімемо з неї першу;
віднімемо з третього рядка другу.
Ранг матриці дорівнює r = 2 <3, отже виконується умова існування ненульового розв'язку однорідної системи рівнянь.
Виберемо як базисного мінору
В
Запишемо вкорочену систему
В
В якості базисних виберемо невідомі х1 і х2. Тоді х3, х4, х5-вільні невідомі. Вважаючи х3 = с3, х4 = с4, х5 = с5, отримаємо
В
Таким чином, загальне рішення буде
В
Приватне рішення знайдемо, надавши сi будь-які значення, наприклад 1. Тоді приватне рішення буде
В
Задача 3.16
Дано координати вершин піраміди АВСD.
1. Знайти модуль вектора
. Знайти площу грані АВС
. Знайти довжину висоти, опущеної з вершини D. p>. Знайти косинус кута між векторами і
. Записати рівняння площини АВС
. Записати рівняння висоти, опущеної з вершини D на грань АВС. br/>
,,,
Рішення
. Знайти модуль вектора
В
. Знайти площу грані АВС. Площа трикутника АВС чисельно дорівнює половині модуля векторного добутку будь-яких двох сторін трикутника АВС:
В
Знайдемо векторне твір. br/>В В В
. Знайти довжину висоти, опущеної з вершини D
Знайдемо рівняння площини АВС. Для цього підставимо координати точок А, В, С у загальне рівняння площини і вирішимо вийшла систему рівнянь
В
Вирішимо систему методом Гауса
В
В результаті маємо рівняння площини АВС
В
Довжину висоти знаходимо як відстань від точки D до площини АВС за формулою
В
. Знайти косинус кута між векторами і
Косинус кута між векторами знаходимо як скалярний добуток цих векторів, поділене на твір їх довжин
В
. Записати рівняння площини АВС
Рівняння площини АВС знайшли в п.3
В
. Записати рівняння висоти, опущеної з вершини D на грань АВС. p> Рівняння висоти знаходимо з тих міркувань, що її спрямовує вектор повинен бути перпендикулярний площині, а, отже, збігатися з нормаллю. Вектор нормалі до площини запишемо з рівняння площині: (- 1, 5, 4)
Тоді рівняння висоти, тобто прямий, перпендикулярної площині з нормаллю (- 1, 5, 4) і проходить через точку буде (виходячи із загального рівняння прямої)
В
Задача 4.16
Дано дві суміжні вершини квадрата А (1, - 3), В (2, 1). Скласти рівняння його сторін. p align="justify"> Рішення:
Складемо спочатку рівняння боку АВ, виходячи із загального рівняння прямої
В
Прямі АD і BC перпендикулярні прямий АВ, отже, їх кутовий коефіцієнт дорівнюватиме
, а рівняння цих прямих буде
АD: BC:
Вільні члени рівнянь знайдемо, підставивши в рівняння координати точок:
В
Рівняння, отже, будуть
АD: BC:
Рівняння прямої СD матиме кутовий коефіцієнт такий же як і рівняння прямої АВ і буде мати вигляд
В В
Щоб знайти вільний член, знайдемо довжину сторони квадрата АВ
В
Знайдемо відстань l від прямих АВ і CD до початку координат. Для цього знайдемо координати точок перетину цих прямих і перпендикуляра, опущено...
