Метод Вінера-Хопфа і його додатки у фізичних задачах. br/>
Демидов Р.А. , ФТФ, 2105
Введення
Зазначений метод підходить для вирішення інтегральних рівнянь на напівнескінченної проміжку з ядром, залежних від різниці аргументів - йдеться про рівняння виду
.
Цей метод був запропонований у спільній роботі Н.Вінера і Е.Хопфа в 1931 році, і знаходить різноманітні застосування в теорії диференціальних та інтегральних рівнянь, а також в їх додатках у фізичних задачах.
У своїй роботі я опишу сам метод Вінера-Хопфа, а також приведу його застосування до рішенням крайових задач матфізікі.
1. Метод
1.1 Випадок нескінченного проміжку
Метод Вінера-Хопфа базується на спеціальному вигляді ядра інтегрального рівняння - воно залежить від різниці аргументів, а не від самого аргументу. Власне, для початку розглянемо рівняння виду
(1)
- це рівняння з нескінченним проміжком і тим же самим ядром. Рішення його існує, якщо виконуються 2 умови:
,
а також умова збіжності норми u (x):
.
Ці умови працюють при дійсних О». Ми розглянемо два способи вирішення цього рівняння - один, використовує властивість згортки безпосередньо, іншого - з допомогою резольвенти. Отже, перший . Зауважимо, що в разі саме нескінченного проміжку інтеграл являє собою згортку ядра і функції u (x). Згадавши, що Фур'є-образи функцій u (x), f (x), g (x) виглядають як, скористаємося властивістю образу згортки двох функцій - "образ згортки є згортка образів ". Тоді для функцій U (k), V (k), F (k) - Образів відповідних функцій, отримуємо рівняння алгебри:
(2)
В
Дане властивість образу згортки доводиться "в лоб", а саме - домноженіем рівності (1) на і інтегруванням по всій дійсній осі:
В
Роблячи заміну у другому інтегралі (xs) = t, отримуємо
,
що і треба було довести.
Бачимо, що ми звели вихідну завдання до алгебраическому рівняння щодо способу вихідної функції u (x). Висловлюючи його через образи ядра і f (x), виробляючи зворотне перетворення Фур'є, отримуємо в якості шуканого розв'язку:
=>
=> (3)
В
Другий спосіб: обчислюємо резольвенту рівняння як
(4)
У вигляді Фур'є - образів це рівність виглядає так:
,
де G (k) обчислюється як
(5)
V (k) - Фур'є-образ вихідного ядра v (x) рівняння (1). Тобто для вирішення вихідного рівняння необхідно знайти функцію g (x), застосувавши зворотне перетворення Фур'є до (5), і підставити його в (4). Цей спосіб не вимагає обчислення щоразу інтегралів для F (k) при зміні функції f, вона підставляється в самому кінці один раз, тому такий спосіб швидше.
На прикладі цього завдання ми зрозуміли, як вирішувати рівняння з нескінченним проміжком інтегрування. На цьому прикладі ми будемо будувати рішення рівняння з напівнескінченних проміжком - і опишемо метод Вінера-Хопфа.
1.2 напівнескінченної проміжок
Зрозуміло, що у разі, якщо інтегрування йде не з - в€ћ, а з 0, переходячи до образам, ми не можемо сприймати наш інтеграл як згортку - а значить, і не можемо написати наше рівняння. Запишемо деякі властивості перетворення Фур'є, пов'язані з напівнескінченної проміжками, які нам знадобляться надалі. Отже, у разі розбиття функції f (X) на два шматки - f + (x) і f - (x), (F (x) = f + (x) + F - (x) ) Представляють собою правий і лівий кінці таким чином:
В
вираження для прямих і зворотних перетворень Фур'є для них буде виглядати так:
f + : ,
при причому тут - комплексна змінна, і виконується нерівність Im (k) = П„> О¤ -. Причому
В
Зворотне перетворення виглядає так:
,
і тут ми інтегруємо по будь-якої прямої Im (k) = П„> О¤ - . br/>
f - : При
для прямого перетворення Фур'є маємо
,
до тут та сама к.п. , Це вірно в області з Im (k) = П„ <О¤ +. Зворотне перетворення для f - виглядає аналогічно:
В
Інтегрування йде по тій же прямій з Im (k) = П„ <О¤ +
При П„ - <П„ + образ F (k) задається рівнянням
В
як раз на смузі П„ - +. При П„ - <0, П„ + > 0 функція смуга Im (П„) = 0 потрапл...
