Інформатика та прикладні програми в ЕОМ в управлінні економікою фірми
Введення
Для вирішення багатьох нелінійних рівнянь найчастіше використовують Методи: простої ітерації, половинного поділу, Ньютона. Нелінійні рішення потрібні сучасному інженеру, вченому, економісту в його професійній діяльності. Наприклад, економіст за допомогою таких рівнянь може знаходити прибуток підприємства та прораховувати його на К років. p align="justify"> Таким чином, розвиток цих методів отримує широкий розвиток у світі.
Теоретичні відомості
Методи рішення
Методи рішення нелінійних рівнянь діляться на прямі і ітераційні. Прямі методи дозволяють записати коріння у вигляді деякого кінцевого співвідношення (формули). Зі шкільного курсу алгебри нам відомі такі методи для вирішення тригонометричних, логарифмічних, показових, а також найпростіших алгебраїчних рівнянь. p align="justify"> Однак зустрічаються на практиці рівняння вдається вирішити такими простими методами. Для їх вирішення використовуються ітераційні методи, тобто методи послідовних наближень. Алгоритм знаходження кореня рівняння за допомогою ітераційного методу складається з двох етапів: а) відшукання наближеного значення кореня або містить його відрізка, б) уточнення наближеного значення до деякої заданої ступеня точності. p align="justify"> Ітераційний процес полягає у послідовному уточненні початкового наближення Хо. Кожен такий крок називається итерацией. В результаті ітерацій знаходиться послідовність наближених значень кореня Х1, Х2, ..., X n - Якщо ці значення із зростанням n наближаються до істинного значення кореня, то кажуть, що ітераційний процес сходиться.
А тепер розглянемо 3 ітераційних методу розв'язання трансцендентних, алгебраїчних рівнянь. Метод поділу відрізка навпіл, Ньютона, простої ітерації. p align="justify"> Метод поділу відрізка навпіл (метод дихотомії)
Нехай дійсний корінь рівняння відокремлений і функція неперервна на інтервалі відділення кореня. Побудуємо процес звуження інтервалу так, щоб шуканий корінь завжди знаходився всередині звуженого інтервалу. Очевидно, що в цьому випадку похибка наближеного значення кореня не перевищує, де,? граничні точки інтервалу на-ої ітерації. Знайдемо середину відрізка і обчислимо. Складемо твори і. З двох половин відрізків виберемо той, в якому твір є негативною величиною, і позначимо нові кордони відрізка через,. Потім новий відрізок розділимо навпіл, знову складемо аналогічні твори і виберемо той з відрізків, в якому твір? величина негативна.
Похибка методу половинного ділення, який також називається методом дихотомії, визначається досить очевидним співвідношенням (яке, втім, може бути строго доведено), яке вказує на швидкість збіжності методу: зі збільшенням похибка прагнути до нуля не повільні геометричній прогресії зі знаменником. Метод дихотомії простий і надійний, завжди сходитися, хоча і повільно, стійкий до помилок округлення. p align="justify"> Метод простої ітерації
З початок наводимо нелінійне рівняння до виду, зручного для ітерації. Для цього помножимо вихідне рівняння на і додамо до обох частин рівняння:
. (1)
В якості початкового наближення можна вибрати будь-яке. Ітераційний процес
В
закінчується при виконанні умови
В
Для збіжності методу досить, щоб для всіх або (що те ж саме). З умови збіжності можна оцінити коефіцієнт входить в (1):
В
.
Недоліком методу є мала швидкість збіжності наближеного рішення до точного. До переваг методу ставляться більш широка область збіжності і простота в порівнянні з методами Ньютона, хорд і січних. На рис. 1 приводитися блок-схема алгоритму методу. Вона проста, алгоритм повністю збігається з наведеним вище в тексті. Позначення змінних ясних з тексту. br/>В
Знайти корені рівняння методом простої ітерації можна за допомогою електронних таблиць. У стовпці обчислюються послідовні наближення до кореня. br/>
Метод простої ітерації початкове наближення копіювати до -го рядка із збільшенням , зростає точність кореня ......................... наближене значення кореня
Метод Ньютона
Розглянемо в точці дотичну до кривої, що задається рівнянням
.
Поклавши, знаходимо точку перетину дотичної з віссю абсцис:
. ...
