ВИЩА МАТЕМАТИКА
ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ
ЗМІСТ
1. Основні теореми диференціального числення
1.1 Локальні екстремуми функції
1.2 Основні теореми диференціального обчислення: Ферма, Ролля, Коші, Лагранжа
2. Дослідження функцій
2.1 Достатні умови екстремуму функції
2.2 Дослідження функцій на опуклість і увігнутість. Точка перегину
2.3 Асимптоти графіка функції
2.4 Загальна схема побудови графіка функції
Література
1 . ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ Диференціального числення
1.1 Локальні екстремуми функції
Нехай задана функція у = f (х) на множині Х і х 0 - внутрішня точка безлічі Х.
Позначимо через U (х 0 ) околиця точки х 0 . У точці х 0 функція f (х) має локальний максимум , якщо існує така околиця U (х 0 ) точки х 0 , що для всіх х з цієї околиці виконана умова f (х) ВЈ f (х 0 ).
Аналогічно: функція f (х) має в точці х 0 локальний мінімум , якщо існує така околиця U (х 0 ) точки х 0 , що для всіх х з цієї округа виконана умова f (х) Ві f (х 0 ). p> Точки локальних максимуму і мінімуму називаються точками локальних екстремумів, а значення функції в них - локальними екстремумами функції.
Нехай функція f (х) визначена на відрізку [а, b] і має локальний екстремум на якомусь з кінців цього відрізка. Тоді такий екстремум називається локальним одностороннім або крайовим екстремумом. У цьому випадку відповідна околиця є правою для В«аВ» і лівої для В«bВ» полуокрестностью.
Проілюструємо дані вище визначення:
В
На малюнку точки х 1 , х 3 - точки локального мінімуму, точки х 2 , х 4 - точки локального максимуму, х = а - крайового максимуму, х = b - крайового мінімуму.
Зауважимо, що поряд з локальними мінімумом і максимумом визначають так звані глобальні мінімуми і максимуми функції f (х) на відрізку [a, b]. На малюнку точка х = а - точка глобального максимуму (у цій точці функція f (х) приймає найбільше значення на відрізку [a, b]), точка х = х 3 - точка відповідно глобального мінімуму.
1.2 Основні теореми диференціального обчислення: Ферма, Ролля, Коші, Лагранжа
Розглянемо деякі теореми, які дозволять надалі проводити дослідження поведінки функцій. Вони носять назви основних теорем математичного аналізу або основних теорем диференціального числення, оскільки вказують на взаємозв'язок похідної функції в точці і її поведінки в цій точці. Розглянемо теорему Ферма. p> П'єр Ферма (1601-1665) - французький математик. За професією - юрист. Математикою займався у вільний час. Ферма - один з творців теорії чисел. З його ім'ям пов'язані дві теореми: велика теорема Ферма (для будь-якого натурального числа n> 2 рівняння х n + y n = z n не має рішень в цілих позитивних числах х, у, z) і мала теорема Ферма (якщо р - просте число і а - ціле число, що не ділиться на р, то а р-1 - 1 ділиться на р).
Теорема Ферма. Нехай функція f (х) визначена на інтервалі (а, b) і в деякій точці х 0 ГЋ (а, b) має локальний екстремум . Тоді, якщо в точці х 0 існує кінцева похідна f '(x 0 ), то f' (x 0 ) = 0.
Доказ.
Нехай, для визначеності, в точці х 0 функція має локальний мінімум, тобто f (х) Ві f (х 0 ), Е“х ГЋ U (х 0 ). Тоді в силу діфференцируємості
f (х) в точці х 0 отримаємо:
при х> х 0 :
В
при х <х 0 :
В
Отже, ці нерівності в силу діфференцируємості мають місце одночасно лише коли
В
Теорема доведена.
Геометричний сенс теореми Ферма: якщо х 0 ГЋ (а, b) є точкою мінімуму або максимуму функції f (х) і в цій точці існує похідна функції, то дотична, проведена до графіка функції в точці (х 0 , f (х 0 )), паралельна осі Ох:
В
В
Зауважимо, що обидві умови теореми Ферма - інтервал (а, b) і дифференцируемость функції в точці локального екстремуму - обов'язкові.
Приклад 1. у = Г§х Г·, х ГЋ (-1; 1).
У точці х 0 = 0 функція має мінімум, але в цій точці похідна не існує. Отже, теорема Ферма для даної функції невірна (не виконується умова діфференцируємості функції в точці х 0 ).
В
Приклад 2. у = х 3 , х ГЋ [-1; 1].
У точці х 0 = 1 функція має край...
