мо характеристичну функцію нормованої гауссовсокой випадкової величини. Випадкова величина Х називається нормованою, якщо її числові характеристики m x = 0 і D x = 1. Щільність розподілу ймовірності нормованої гауссовской випадкової величини має вигляд:
В
За визначенню маємо
(2)
Після перетворення
В
і заміни в інтегралі
z = x - jt
співвідношення (2) вживає вид
В
але так як
В
то
В
Таким чином, характеристична функція з точністю до постійного множника збігається з щільністю розподілу.
2.1 Властивості характеристичної функції
1. Характеристична функція g (t) речовинна тоді і тільки тоді, коли f (x) - парна функція. Причому g (t) також парні. Це випливає з властивостей перетворення Фур'є.
2. Якщо випадкові величини Х і Y зв'язані співвідношенням
Y = aX,
де а - постійна множник, то
g y (t) = g x (at).
Доказ. br/>В
3. Характеристична функція суми незалежних випадкових величин дорівнює добутку характеристичних функцій.
Доказ. Нехай Х 1 , Х 2 , ... , Х n - незалежні випадкові величини з характеристичними функціями g x 1 (t), g x 2 (t), ... , G xn (t). p> Знайдемо характеристичну функцію
В
Маємо:
В
Так як випадкові величини незалежні, то незалежні і випадкові величини, тому
В
Використовуючи апарат характеристичних функцій можна показати, що випадкові величини Z = X + Y (Z - носить назву композиції), де X, Y незалежні випадкові величини мають біномінальної розподіл або розподіл Пуассона, або нормальний розподіл також підпорядковуються відповідно біномінальної розподілу, законом Пуассона, нормальному закону.
В
3. Центральна гранична теорема
Теорема. Якщо випадкові величини Х 1 , Х 2 , ... , Х n взаємно незалежні і мають один і той же закон розподілу f (x) і
В
то при необмеженій збільшенні n закон розподілу суми необмежено наближається до нормального.
Вона може бути сформульована в більш загальному випадку. Закон розподілу ймовірностей суми незалежних випадкових величин однакового порядку при необмеженому збільшенні доданків незалежно законів розподілу доданків прагне до нормальному закону з щільністю ймовірностей
В В
де
Доказ використовує апарат характеристичних функцій, представляючи і розкладаючи функцію g x (t) в ряд Макларена. Далі, роблячи нормировку випадкової величини Y n , тобто заміну показується, що
В
Приклад. Складаються 24 незалежних випадкових величини, кожна з яких підпорядкована рівномірному закону на інтервалі (0, 1). p> Написати наближений вираз для щільності суми цих випадкових величин. Знайти ймовірність того, що сума буде укладена в межах від 6 до 8. p> Рішення. Нехай де Х i - рівномірно розподілені випадкові величини. Випадкова величина Y задовольняє центральної граничної теоремі, тому її щільність розподілу
В
Так як Х i - рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1), то
Отже,
В В
Підставимо отримані значення у формулу щільності ймовірності випадкової величини Y:
В
Значить
В
