ермітовим оператори
В
Зміст
Лінійні оператори
Лінійні рівняння
ермітовим оператори
В
Лінійні оператори
Нехай M і N - лінійні множини. Оператор L , перетворюючий елементи множини M в елементи множини N , називається лінійним, якщо для будь-яких елементів f і g з M і комплексних чисел О» і Ој справедливо рівність
L (О» + Ој g ) = О» Lf + Ој Lg (1)
При цьому безліч M = M L називається областю визначення оператора L . Якщо Lf = f при всіх f Є M , то оператор L називається тотожним (одиничним) оператором. Одиничний оператор будемо позначати через I.
В
Лінійні рівняння
Нехай L - лінійний оператор з областю визначення M L . Рівняння
В
Lu = F (2)
називається лінійним неоднорідним рівнянням. У рівнянні (2) заданий елемент F називається вільним членом (або правою частиною), а невідомий елемент і з M L - рішенням цього рівняння .
Якщо в рівнянні (2) вільний член F покласти рівним нулю, то отримане рівняння
В
Lu = 0 (3)
називається лінійним однорідним рівнянням, відповідним рівнянням (2).
У силу лінійності оператора L сукупність рішень однорідного рівняння (3) утворює лінійне безліч; зокрема, і = 0 завжди є рішенням цього рівняння. p> Всяке рішення і лінійного неоднорідного рівняння (2) (якщо воно існує) представляється у вигляді суми приватного рішення і про цього рівняння і спільного рішення Е, відповідного лінійного однорідного рівняння (3)
В
і = і про + Е .
Звідси безпосередньо виводимо: для того щоб рішення рівняння (2) було єдиним в M L , необхідно і достатньо, щоб відповідне однорідне рівняння (3) мало тільки нульове рішення в M L . Нехай однорідне рівняння (3) має тільки нульове рішення в M L . Позначимо через R l область значень оператора L , тобто (Лінійне) безліч елементів виду {L f }, де f пробігає M L . Тоді для будь-якого F Є R l рівняння (2) має єдине рішення і Є M L , і, таким чином, виникає деякий оператор, сопоставляющий кожному елементу F з R l відповідне рішення рівняння (2). Цей оператор називається зворотним оператором до оператору L і позначається через L -1 , так що
В
і = L -1 F . (4)
Оператор L -1 , очевидно, є лінійним і відображає R l на M L . Безпосередньо з визначення оператора L -1 , а також з співвідношень (2) і (4) випливає:
В
L L -1 F = F , F Є R l ; L -1 Lu = u , і Є M L ,
тобто L L -1 = I , < i> L -1 L = I .
Якщо лінійний оператор L має зворотний L - 1 , то системи функцій { П† k } і { L П† k } одночасно лінійно незалежні. (При цьому, природно, передбачається, що всі П† k належать M L . )
Розглянемо лінійне однорідне рівняння
В
Lu = О» u , (5)
де О» - комплексний параметр. Це рівняння має нульове рішення при всіх О». Може статися, що при деяких О» воно має ненульові рішення з M L . Ті комплексні значення О», при яких рівняння (5) має ненульові рішення з M L , називаються власними значеннями оператора L , а відповідні рішення - власними елементами (функціями), відповідними цього власному значенню. Повне число r , 1 ≤ r ≤ в€ћ , лінійно незалежних власних елементів, відповідних да...
