Інтеграли
Основні питання лекції: первообразная; невизначений інтеграл, його властивості; таблиця інтегралів; методи інтегрування: розкладання, заміна змінної, по частинах; інтегрування раціональних функцій; інтегрування иррациональностей і виразів, що містять тригонометричні функції, завдання, що призводять до поняття визначеного інтеграла; інтегральна сума; поняття певного інтеграла, його властивості; визначений інтеграл як функція верхньої межі; формула Ньютона Лейбніца; застосування певного інтеграла до обчислення площ плоских фігур; обчислення обсягів тіл і довжин дуг кривих; невласні інтеграли з нескінченними межами і від необмежених функцій, основні поняття диференціальних рівнянь; задача Коші; диференціальні рівняння із перемінними; однорідні диференціальні рівняння 1-го порядку; лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку, диференціальні рівняння 2-го порядку, що допускають зниження порядку; лінійні диференціальні рівняння 2-го порядку з постійними коефіцієнтами: однорідні і неоднорідні.
Функція називається первісної для функції на проміжку, якщо в будь-якій точці цього проміжку.
Теорема. Якщо і - первісні для функції на деякому проміжку, то знайдеться таке число, що буде справедливо рівність
= +.
Безліч всіх первісних для функції на проміжку називається невизначеним інтегралом від функції і позначається. Таким чином,
= +.
Властивості невизначеного інтеграла
1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює подинтегральной функції, тобто
.
2. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює подинтегральних висловом, тобто
В
3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цієї функції з точністю до постійного доданка, тобто
,
де - довільне число.
4. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла, тобто
В
5. Інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює такій же сумі інтегралів від цих функцій, тобто
.
Метод заміни змінної
,
де - функція, дифференцируемая на розглянутому проміжку.
Метод інтегрування частинами
,
де і - диференціюються.
Інтегрування раціональних дробів. Найпростішими дробами називають дробу виду
і,
причому квадратний тричлен не має дійсних коренів.
Раціональну функцію можна розкласти в суму найпростіших дробів, причому в знаменнику цих дробів можуть бути і ступеня від виразу стоїть в знаменнику.
Для інтегралів виду роблять заміну, а для інтегралів в загальному випадку використовуються підстановки Ейлера. p> При інтегруванні тригонометричних виразів у загальному випадку використовується заміна змінної, де. <В
Талиця основних інтегралів.
1. p> 2. p> 3. p> 4. p> 5. p> 6. p> 7. p> 8. p> 9. p> 10. p> 11. p> 12. br/>
Нехай на відрізку задана функція. Розіб'ємо відрізок наелементарних відрізків крапками. На кожному відрізку розбиття виберемо деяку точку і покладемо, де. Суму виду
(1)
будемо називати інтегральною сумою для функції. на. Для избранного розбиття відрізка на частини позначимо через максимальну з довжин відрізків, де.
Нехай межа інтегральної суми при прагненні до нуля існує, кінцевий і не залежить від способу вибору точок і точок. Тоді цей межа називається визначеним інтегралом від функції на, позначається, а сама функція називається интегрируемой на відрізку, тобто
=.
Економічний сенс інтеграла. Якщо - продуктивність праці в момент часу, тобто обсяг продукції, що випускається за проміжок. Величина і обсяг продукції, виробленої за проміжок часу, чисельно дорівнює площі під графіком функції, яка описує зміну продуктивності праці з плином часу, на проміжку або.
Достатня умова існування інтеграла. Теорема. Якщо неперервна на відрізку, то вона інтегровна на цьому відрізку. p> Властивості визначеного інтеграла.
1. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла, тобто
,
де - деяке число.
2. Інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює такій же сумі інтегралів від цих функцій, тобто
.
3. Якщо відрізок інтегрування розбитий на частини, то інтеграл на всьому відрізку дорівнює сумі інтегралів для кожної з виникли частин, тобто за будь-яких
В
4. Якщо на відрізку, де,, то і
.
Слідство. Нехай на відрізку, де,, де і - деякі числа. Тоді
.
Теорема про середню. Якщо функція неперервна на відрізку, де, то знайдеться таке значення, що
.
Теорема. Нехай функція неперервна на відрізку і - будь-яка первісна для на. Тоді визначений інтеграл від функції на дорівнює приросту первісної на...
