на цьому відрізку, тобто
В
Ця формула називається формулою Ньютона - Лейбніца.
Теорема. Нехай функція має безперервну похідну на відрізку, і функція неперервна в кожній точці виду, де. p> Тоді має місце рівність
=.
Ця формула носить назву формули заміни змінної в певному інтегралі.
Теорема. Нехай функції і мають безперервні похідні на відрізку. Тоді
.
Ця формула називається формулою інтегрування по частинах.
Теорема. Нехай на відрізку задані безперервні функції і такі, що. Тоді площа фігури, укладеної між кривими і, на відрізку обчислюється за формулою
В
Нехай на відрізку задана безперервна знакопостоянного функція. Тоді об'єм тіла, утвореного при обертанні навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженою лініями, і знаходиться за формулою
.
Диференційним рівнянням називається рівняння, що зв'язує шукану функцію однієї або декількох змінних, ці змінні і похідні різних порядків даної функції.
Диференціальне рівняння го порядку називається дозволеним щодо старшої похідної, якщо воно має вигляд
.
Рішенням диференціального рівняння називається така функція, яка при підстановці її в це рівняння звертає його тотожність.
Спільним рішенням диференціального рівняння го порядку називається таке його рішення
,
яке є функцією змінних і довільних незалежних постійних.
Приватним рішенням диференціального рівняння називається рішення, одержуване із загального рішення при деяких конкретних числових значеннях постійних.
Теорема. Нехай у диференціальному рівнянні
(1)
функція і її приватна похідна неперервні на відкритій множині координатної площині. Тоді
1. Для будь-якої точки безлічі знайдеться рішення рівняння (1), що задовольняє умові.
2. Якщо два рішення і рівняння (1) збігаються хоча б для одного значення, то ці рішення збігаються для всіх тих значень змінної, для яких вони визначені.
Диференціальне рівняння (1) першого порядку називається неповним, якщо функція явно залежить або тільки від, або тільки від.
Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо воно може бути представлено у вигляді
В
або у вигляді
,
де,, - деякі функції змінної; - функції змінної.
Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійним, якщо воно має вигляд
,
де і - деякі (безперервні) функції змінної . p> У випадку, коли функція тотожно дорівнює нулю, рівняння називається однорідним, в іншому випадку - неоднорідним.
Лінійне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд
, (2)
де - деякі дійсні числа, - деяка функція.
Якщо, то рівняння
(3)
називається однорідним, в іншому випадку при рівняння (2) називається неоднорідним.
Теорема. Якщо і - лінійно незалежні приватні рішення рівняння (3), то загальне рішення цього рівняння є лінійною комбінацією цих приватних рішень, тобто має вигляд
,
Для деяких дійсних чисел і.
Рівняння
(4)
називається характеристичним рівнянням рівняння (3).
Теорема.
1. Нехай характеристичне рівняння (4) має дійсні корені, причому. Тоді загальне рішення рівняння (3) має вигляд
,
де і - деякі числа.
2. Якщо характеристичне рівняння (4) має один корінь (кратності 2), то загальне рівняння (3) має вигляд
,
де і - деякі числа.
3. Якщо характеристичне рівняння (4) не має дійсних коренів, то загальне рішення рівняння (3) має вигляд
,
де,, і - деякі числа.
Теорема. Загальне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння (2) дорівнює сумі загального розв'язку відповідного однорідного рівняння (3) і приватного рішення вихідного неоднорідного рівняння (2).
Числовим поруч називається вираз виду
(1)
Числа називаються членами ряду, а член - загальним членом ряду.
Сума перших членів ряду називається - й часткової сумою ряду.
Ряд називається збіжним, якщо існує кінцевий межа послідовності його часткових сум, тобто
В
Число називається сумою ряду.
Властивості збіжних рядів.
1. Якщо ряд (1) сходиться і має суму, то і ряд отриманий множенням даного ряду на число також сходиться і має суму.
2. Якщо ряди
В
і
(2)
сходяться і їх суми відповідно рівні і, то і ряд представляє суму даних рядів також сходиться, і його сума дорівнює.
3. Якщо ряд сходиться, то сходиться і ряд, отриманий з даного шляхом відкидання аб...
