Звичайні диференціальні рівняння
Завдання 1. Знайти рішення диференціальних рівнянь із перемінними
.
Рішення:
Зробимо поділ змінних:
(3y2 + 1) dy = 2xdx
Проинтегрируем ліву і праву частину.
+ = 2 .
+ y + C = 2 , + y + C = x2, або x = < span align = "justify">.
yy '= x.
Запишемо рівняння у вигляді:
y = x і зробимо заміну змінних:
ydy = xdx, тоді 3 =
= + C/2 або 3y2 = x2 + C, тоді
y = .
Завдання 2. Знайти рішення однорідних диференціальних рівнянь першого порядку
(2x - y) dx + (2y - x) dy = 0.
Дозволимо рівняння щодо dy/dx:
'= = - ,
поділивши чисельник і знаменник правої частини на х, одержимо:
'= - ,
т. е. у 'є функція відносини у/х. Це означає, що дане рівняння однорідне. p align="justify"> Для вирішення цього рівняння введемо нову функцію u = y/x. Тоді у = ux, y '= xdu/dx + u. Вихідне рівняння запишеться у вигляді рівняння з відокремлюваними змінними:
+ u = ;
x = - u = = ,
= - du = - < span align = "justify">. Проинтегрируем це рівняння:
= 2 - + lnC.
ln = 2 (u - ln (u + 1)) - ln (u + 1) = 2u - l-2ln (u + 1) - ln ( u + 1) = 2u - 3 ln (u + 1),
+ ln (u + 1) 3 = 2u, (u + 1) 3 = 2u,
(u + 1) 3 = e2u, і остаточно отримуємо рішення:
