pan>
( + 1) 3 = exp ( .
- ydx = ydy.
(x - y) dy = ydx y = .
Для вирішення цього рівняння введемо нову функцію u = y/x. Тоді у = ux, y '= xdu/dx + u. Вихідне рівняння запишеться у вигляді рівняння з відокремлюваними змінними:
+ u = ;
x = - u = = ,
= - du = - < span align = "justify">. Проинтегрируем це рівняння:
= - + lnC.
= ln (2u - 1) - u - ln (2u - 1) = - u, остаточно отримуємо:
x = Ce-u = Ce-y/x.
Завдання 3. Знайти рішення лінійних диференціальних рівнянь першого порядку
- y ctg x = 2x sin x.
Покладемо y = uv, тоді y '= u'v + uv' і дане рівняння приймає вигляд: 'v + uv' - uv ctg x = 2x sin x, 'v + u (v' - v ctg x) = 2x sin x.
Вирішуючи рівняння v '- v ctg x = 0, отримаємо його найпростіше приватне рішення:
= v ctg x; = ctg x dx; ln = ln ; звідки v = sin x.
Підставляючи v у вихідне рівняння одержуємо рівняння: sin x = 2x sin x, з якого знаходимо u '= 2x, отже du = 2xdx u = x2 + C.
Отже, шукане рішення y = (x2 + C) sin x.
'+ 3y tg 3x = sin 6x, y (0) = 1/3.
Покладемо y = uv, тоді y '= u'v + uv' і дане рівняння приймає вигляд: 'v + uv' + 3uv tg 3x = sin 6x, 'v + u (v' + 3v tg 3x) = sin 6x.
Вирішуючи рівняння v '+ 3v tg 3x = 0, отримаємо його найпростіше приватне рішення:
= 3v tg x; = 3tg 3x dx; ln = - ln ; звідки v = 1/cos 3x.
Підставляючи v у вихідне рівняння одержуємо рівняння:
/cos 3x = sin 6x, з якого знаходимо u
