Рішення:
Знайдемо спільне рішення однорідного рівняння, відповідного даному неоднорідному. Для цього складемо характеристичне рівняння:
В
Тоді
В
Знайдемо приватне рішення неоднорідного рівняння. Оскільки не є коренем характеристичного рівняння, то шукати його будемо у вигляді
В
Підставимо знайдені значенні похідних у вихідне рівняння:
В В
Тоді загальне рішення неоднорідного рівняння має вигляд:
В В
спільне рішення неоднорідного рівняння
Відповідь:
В
7. Дослідити збіжність ряду
В
Рішення:
Для дослідження ряду на збіжність застосуємо ознака Даламбера.
В
Оскільки, то ряд розходиться
Відповідь: ряд розходиться
8. Знайти область збіжності функціонального ряду
(1)
Рішення:
Знайдемо радіус збіжності ряду (1):
В
- інтервал збіжності ряду (1)
Досліджуємо збіжність ряду в граничних точках:
: (2)
Досліджуємо ряд (2) на збіжність:
умови теореми Лейбніца виконані, тобто ряд (2) сходиться
Розглянемо ряд з модулів (3)
Даний ряд розходиться як геометричний.
Оскільки ряд (2) сходиться, а ряд (3) з модулів розходиться, то ряд (2) сходиться умовно.
: (4)
Досліджуємо ряд (4) на збіжність:
умови теореми Лейбніца виконані, тобто ряд (4) сходиться
Розглянемо ряд з модулів (5)
Даний ряд розходиться як геометричний.
Оскільки ряд (4) сходиться, а ряд (5) з модулів розходиться, то ряд (4) сходиться умовно.
Таким чином, остаточно отримуємо інтервал збіжності
Відповідь: ряд сходиться при; причому, при відповідні Знакозмінні ряди сходяться умовно
. Розкласти в степеневий ряд функцію в околиці точки і знайти інтервал збіжності ряду.
Рішення:
Обчислимо кілька похідних зазначеної функції:
В
Знайдемо радіус збіжності отриманого ряду:
В
Досліджуємо граничні точки.
: (1)
, тобто не існує межі часткових сум ряду (1), отже, цей ряд розходиться
: (2)
В
тобто не існує межі часткових сум ряду (2), отже, цей ряд розходиться
Відповідь:, даний ряд сходиться при
. Розкласти в ряд Фур'є періодичну функцію з періодом, задану на відрізку.
Рішення:
Оскільки - непарна функція на, то її ряд Фур'є буде містити тільки синуси.
Обчислимо коефіцієнти ряду Фур'є:
В В
Тоді ряд Фур'є вихідної функції має вигляд:
В
1. На книжковій полиці випадковим чином розст...
