Контрольна робота з аналітичної геометрії
Задача 1. Написати рівняння прямої, що проходить через точку А (2, 4) і віддаленої від початку координат на відстань
Рішення:
1) Нехай шукане рівняння має вигляд (ясно, що точка А (2, 4) задовольняє цього рівняння).
) Відстань від початку координат до прямої дорівнює
В
Дорівнявши цей вираз до, отримаємо рівняння
) Звівши обидві частини рівняння в квадрат, отримаємо
,
,
В
Таким чином, шукане рівняння. Перетворимо отримане рівняння
,
В
В
Малюнок 1.
4) Пряма проходить через точку і відстань від цієї прямої до початку координат дорівнює 2. Тобто також є рішенням задачі (див. малюнок 1). p> Відповідь. Шукана пряма або
Завдання 2. Сторони АВ і ВС паралелограма задані рівняннями у = х - 2 і 5у = ​​х + 6, діагоналі його перетинаються в точці М (1, 4). Знайти довжини його висот
координата площину паралелограм пряма
Рішення:
1) Точка перетину прямих, знаходиться як рішення системи
.
Віднімаючи з першого рівняння друге, одержимо, або. З першого рівняння. Таким чином, координати точки. Координати. p>) Координати Координати D збігаються з координатами вектора, Таким чином, координати точки.
) Знаходимо відстань від D до прямої, скориставшись формулою
.
.
Знаходимо відстань від D до прямої
.
Відповідь. Довжини висот,. br/>
Задача 3. Дано точки А (-4, 0) і В (0, 6). Через середину відрізка провести пряму, що відсікає на осі відрізок, удвічі більший, ніж на осі
Рішення:
1) Середина відрізка - точка
.
) Нехай рівняння шуканої прямої у відрізках. За умовою задачі, таким чином рівняння шуканої прямої
.
Підставимо координати точки в рівняння. Отримаємо
.
Рівняння шуканої прямої.
В
Малюнок 2.
Відповідь. Рівняння шуканої прямої. br/>
Задача 4. Побудувати площину х + у - z = 0 і пряму, що проходить через точки А (0, 0, 4) і В (2, 2, 0). Знайти точку перетину прямої і площини і кут між ними
1) Знайти три точки, що лежать на площині, і через них побудувати площину.
Рішення:
1) Якщо в рівняння підставити,, отримаємо. Таким чином, точка лежить на площині. Аналогічно, при, отримуємо і точка лежить на площині. Третя точка, що на площині -. Побудуємо площину і пряму. br/>В
Малюнок 3.
) Запишемо рівняння прямої, підставляючи в рівняння координати точок А (0, 0, 4) та. Отримаємо рівняння прямої. Прир...
