івняємо до параметру всі співвідношення і перепишемо рівняння прямої в параметричному вигляді
.
) Підставимо отримані вирази в рівняння площині. Отримаємо для рівняння
.
Таким чином, точка перетину прямої і площини (при)
В
) Якщо дано рівняння площини у вигляді, то координати нормального вектора До площині нормальний вектор Вектор. Синус кута між прямою і площиною дорівнює
,
.
Відповідь. Точка перетину прямої і площини, кут між прямою і площиною. br/>
Задача 5. Написати рівняння площини, що проходить через точки Р (3, 0, -1) і Q (-1, -1, 3) і перпендикулярній площині 3х + 2у - z + 5 = 0
Рішення:
Нехай рівняння шуканої площини. Оскільки точка лежить на площині, то підставляючи в рівняння площини її координати, одержимо рівняння. p> Підставляючи в рівняння площини координати точки, одержимо рівняння.
Так як шукана площина перпендикулярна до площини 3х + 2у - z + 5 == 0, їх нормальні вектора перпендикулярні. До площини в нормальний вектор, до площини 3х + 2у - z + 5 = 0 нормальний вектор Рівність нулю скалярного твору дає рівняння
Таким чином маємо систему
В
З третього рівняння Підставляючи в перше і друге рівняння, отримаємо систему
,
В
.
З рівняння отримаємо. Підставивши отримані вирази в рівняння, отримуємо рівняння шуканої площини у вигляді
.
Помножимо рівняння на 8:
.
Розділивши рівняння на, одержимо шукане рівняння
.
Відповідь. Рівняння шуканої площини. br/>
Задача 6. Знайти кути і площа трикутника, утвореного прямими у = 2х, у =-2х +1 та у =-х + 2
Рішення:
1). Обчислення вершин. p> а) Точка перетину прямих, знаходиться як рішення системи
Підставляючи вираз для з другого рівняння в перший, отримаємо, звідки, або. Враховуючи, що, при отримуємо. p> Координати точки.
б) Точка перетину прямих, знаходиться як рішення системи
Підставляючи вираз для з першого рівняння в друге, отримаємо
,
,
,
В
Координати точки.
с) Точка С перетину прямих, знаходиться як рішення системи
Підставляючи вираз для першого рівняння в друге, отримуємо. Отже,. При отримаємо
Координати точки.
В
Малюнок 4.
). Обчислення підстави. Знаходимо координати вектора Довжина. p>). Обчислення висоти. Якщо дано рівняння прямої у вигляді і координати точки, то відстань від точки С до прямої знаходиться за формулою
.
Рівняння прямої AB, або (тобто,,). Координати. Підставляючи у формулу відстані від точки до прямої, отримуємо висоту
.
). Знаходження площі. Площа трикутника дорівнює половині твори основи і висоти, тобто. br/> <...
