Контрольна робота № 1
Варіант 5
Задача № 1. Дано чотири вектора,,, в деякому базисі. Показати, що вектори,, утворюють базис і знайти координати вектора в цьому базисі. br/>
Рішення.
Перевіримо, чи утворюють вектори,, базис.
Три вектори утворюють базис, якщо вони не лежать в одній площині. Знайдемо змішане твір векторів,,. br/>В В
Оскільки змішання твір векторів не дорівнює 0, то вектори,, утворюють базис.
Знайдемо координати вектора в базисі.
.
Підставляючи координати векторів, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, яку вирішимо за формулами Крамера.
В
Скористаємося формулами Крамера:
,,,
де - визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих.
== 42 + 0 +18 +0 +30 - 28 = 62;
= 42 + 0 - 156 +0 + 30 - 21 = -105;
= 42 +0 +36 +0 + 312 - 56 = 334;
= 312 + 40 -18 +36 - 30 -208 = 132.
Знайдемо,,.
. Відповідь:
Завдання № 2 Дано вершин піраміди,,,. Знайти:
довжину ребра;
кут між ребрами і;
кут між ребром і гранню;
площа грані;
обсяг піраміди;
рівняння прямої;
рівняння площини;
рівняння висоти, опущеної з вершини на грань;
Зробити креслення.
Рішення:
1) Довжина d відрізка, що проходить через точки з координатами, обчислюється за формулою:
Поставимо у формулу координати точок і.
Отримаємо
.
2) Кут? між векторами знаходиться за формулою:
=
Знайдемо координати векторів і.
=.
=.
Тоді ==.
радіан.
) Кут між прямою і площиною знаходиться за формулою:
, де - нормальний вектор площини.
Так як і,
то вектор можна знайти як векторний добуток векторів і.
==.
Нормальний вектор площині дорівнює (7, 26, -8).
Тоді ===.
радіан.
) Знайдемо площу грані за формулою
З пункту 3 маємо =.
Тоді ===.
==.
) Обсяг піраміди обчислимо за формулою
=,
де - змішане твір векторів,,.
Обчислимо.
===.
Значить, ==.
) Канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору має вигляд:
Підставимо координати точки і вектора, одержимо:
== - канонічні рівняння прямої.
) Рівняння площини, що проходить через точку, перпендикулярній вектору має вигляд:
.
Нормальний вектор площині має координати (7, 26, -8) (обчислено п. 3).
, звідки - рівняння площини.
) Знайдемо рівняння висоти, опущеної з вершини на грань. Напрямних вектором прямої є нормальний вектор площини - = (7, 26, -8). p> Тоді - рівняння висоти, опущено...
