Задача 1
Знайти базисне рішення для системи рівнянь (одна з вільних
змінних - х4. p> рівняння лінія крива ймовірність вектор обсяг
Рішення
Запишемо розширену матрицю системи і перетворимо її.
.
Ранг цієї матриці дорівнює 3, отже, одне з рівнянь системи можна відкинути, наприклад, четверте.
. br/>
Нехай х4 і х5 - вільні змінні. З'ясуємо, чи можуть змінні х1, х2, х3 бути основними. Знайдемо визначник матриці з коефіцієнтів при цих змінних, тобто базисний мінор:
В
Значить змінні х1, х2, х3 можуть бути базисними, а х4 і х5 вільними. Прирівняємо вільні змінні до нуля, тобто х4 = х5 = 0, отримаємо систему рівнянь у вигляді:
,. br/>
Тоді базисне рішення (2; -1; 6, 0, 0).
Відповідь: (2; -1; 6, 0, 0).
Задача 2
Скласти рівняння лінії, для кожної точки якої її відстань до точки А (2; -1) дорівнює відстані до прямої у = 1. Отримане рівняння привести до канонічного виду і побудувати криву. p> Рішення
Нехай М (х; у) - поточна точка шуканого геометричного місця точок. Опустимо перпендикуляр МВ на пряму у = 1. Тоді В (х; 1). За умовою задачі МА = МВ
;;
В В В
Отримане рівняння являє параболу виду
В
, де - вершина параболи, р - параметр параболи. Парабола має вершину в точці (2, 0), гілки спрямовані вгору. br/>В
Задача 3
Знайти власні значення і власні вектори лінійного перетворення, заданого в деякому базисі матрицею
В
Рішення
Складемо характеристичне рівняння матриці А
= 0 або
.
Звідки власні значення лінійного оператора
.
Знайдемо власний вектор відповідає власному значенню
= 0, звідки знаходимо. Нехай, тоді,, тобто . br/>
Аналогічно для знайдемо
= 0 звідки.
Аналогічно для знайдемо
= 0 звідки.
Задача 4
З квадратного листа картону зі стороною а вирізаються по кутах однакові квадрати, а з іншої частини склеюється прямокутна коробка. Яка повинна бути сторона вирізуваних квадратів, щоб обсяг коробки був найбільшим? p align="justify"> Рішення
Площа основи коробки
. br/>
Висота Н = х. p> Об'єм коробки
Досліджуємо цю функцію.
В
прі. <В
У точці функція має максимум. З умови задачі видно, що значення для даної задачі не має сенсу. Отже, при обсяг коробки буде найбільшим
В
Відповідь:,
Задача 5
Обчислити межа функції за правилом Лопіталя
Рішення
В
Відповідь: 3
Задача 6
Дослідити функцію і побудувати її графік
