ідрізку [A, b] і виконані умови:
1) П† (x) C 1 [a, b];
2) П† (x) [a, b] "x [a, b];
3) існує константа q> 0: | П† '(x) | ≤ q <1 x [a, b]. Tогда итерационная послідовність {x (k) }, задана формулою x (k +1) = П† (x (k) ), k = 0, 1, ... сходиться при будь-якому початковому наближенні x (0) [a, b].
ДОКАЗ: Розглянемо два сусідніх члена послідовності {x (k) }: x (k) = О¦ (x (k-1) ) і x (k +1) = П† (x (k) ) Tак як за умовою 2) x (k) і x (k +1) лежать всередині відрізка [A, b], то використовуючи теорему Лагранжа про середні значення отримуємо:
x (k +1) - X (k) = П† (x (k) ) - П† (x (k-1) ) = П† '(c < sub> k ) (x (k) - X (k-1) ),
де c k (x (k-1) , x (k) ).
Звідси отримуємо:
| x (k +1) - x (k) | = | Φ '(c k ) | · | x (k) - x (k-1) | ≤ q | x (k) - x (k-1) | ≤
≤ q (q | x (k-1) - X (k-2) |) = q 2 | x (k-1) - x (k-2) | ≤ ... ≤ q k | x (1) - x (0) |. (2.5)
Розглянемо ряд
S в€ћ = x (0) + (X (1) - x (0) ) + ... + (X (k +1) - x (k) ) + ... . (2.6)
Якщо ми доведемо, що цей ряд сходиться, то значить сходиться і послідовність його часткових сум
S k = x (0) + (X (1) - x (0) ) + ... + (X (k) - x (k-1) ). br/>
Але неважко обчислити, що
S k = x (k)) . (2.7)
Отже, ми тим самим доведемо і збіжність ітераційної послідовності {x (k) }.
Для доказу збіжності pяда (2.6) порівняємо його почленно (без першого доданка x (0) ) з низкою
q 0 | x (1) - X (0) | + q 1 | x (1) - x (0) | + ... + | X (1) - x (0) | + ..., (2.8)
який сходиться як нескінченно спадна геометрична прогресія (так як за умовою q <1). У силу нерівності (2.5) абсолютні величини ряду (2.6) не перевищують відповідних членів сходиться ряду (2.8) (тобто ряд (2.8) мажорірует ряд (2.6). Отже ряд (2.6) також сходиться. Tем самим сходиться послідовність {x (0) }.
Отримаємо формулу, що дає спосіб оцінки похибки
| X - x (k +1) |
методу простої ітерації.
Маємо
X - x ( k +1) = X - S k +1 = S в€ћ - S k +1 = (x ( k +2) - ( k +1) ) + (x ( k +3) - x ( k +2) ) + .. . . br/>
Отже
| X - x (k +1) | ≤ | X (k +2) - (k +1) | + | x (k +3) - x (k +2) | + ... ≤ q k +1 | x (1) - x (0) | + q k +2 | X (1) - x (0) | + ... = Q k +1 | x (1) - x (0) |/(1-q).
В результаті отримуємо формулу
| X - x (k +1) | ≤ q k +1 | x (1) - x (0) |/(1-q). (2.9)
Взявши за x (0) значення x (k) , за x (1) - значення x (k +1) (так як при виконанні умов теореми такий вибір можливий) та враховуючи, що при має місце нерівність q k +1 ≤ q виводимо:
| X - x (k +1) | ≤ q k +1 | x (k +1) - x (k) |/(1-q) ≤ q | x (k +1) - X (k) |/(1-q). br/>
Отже, остаточно отримуємо:
| X - x (k +1) | ≤ q | x (k +1) - x (k) |/(1-q). (2.10)
Використовуємо цю формулу для виведення критерію закінчення ітераційної послідовності. Нехай рівняння x = П† (x) вирішується методом простої ітерації, причому відповідь має бути знайдений з точністю Оµ, тобто
| X - x (k +1) | ≤ ε.
З урахуванням (2.10) отримуємо, що точність Оµ буде досягнута, якщо виконано нерівність
| x (k +1) -x (k) | ≤ (1-q)/q. (2.11)
Таким чином, для знаходження коренів рівняння x = П† (...
