симетричних многочлен
ВІД ТРЬОХ ЗМІННИХ
Курсова робота
ВСТУП
Одним з найскладніших для школярів розділів алгебри є вирішення систем рівнянь вищих ступенів.
Для квадратного рівняння з одним невідомим
x ВІ + px + q = 0
виводиться формула
x = - В±,
яка вказує стандартний шлях вирішення. Для систем рівнянь першого ступеня теж є стандартні прийоми рішення. Однак для систем рівнянь вищих ступенів справа йде складніше. p> Найбільш загальним способом вирішення таких систем є метод виключення невідомих. Теоретично з будь-якої системи двох алгебраїчних рівнянь з двома невідомими можна, виключаючи одне невідоме, отримати рівняння другого невідомого. Однак не завжди процес виключення є простим. Найбільшим же незручністю методу виключення є те, що він часто приводить до рівняння дуже високого ступеня. У вищій алгебрі доводиться, що якщо одне рівняння системи має ступінь n, а друге - m, то після виключення, як правило, виходить рівняння ступеня mn. p> Візьмемо, наприклад, систему
В
З першого рівняння знаходимо: x ВІ = 5? y ВІ, і тому
x ВІ = (5? y ВІ) Ві = 125? 75y ВІ +15 y-y.
Точно так само з другого рівняння отримуємо: x Ві = 9-y Ві, і тому
= 81-18y Ві + y.
Прирівнюючи знайдені значення для x, отримуємо рівняння, що містить тільки одне невідоме y:
y
за цих недоліків метод виключення використовують в школі досить рідко. Зазвичай намагаються вирішити систему за допомогою якого-небудь штучного прийому. Але загальних правил відшукання таких прийомів немає. Кожна система вирішується своїм методом, і досвід, отриманий при вирішенні однієї системи, мало допомагає при вирішенні іншої. У результаті цей розділ шкільної математики перетворюється на набір головоломок і окремих кустарних методів їх вирішення. p> Моя мета - познайомити вас з одним досить загальним методом вирішення систем рівнянь вищих ступенів. Він не настільки універсальний, як метод виключення, тому що може бути застосований не до всякої системі. Однак цей метод можна застосовувати до більшості систем, з якими стикається школяр. Істотно, що, на відміну від методу виключення, він призводить не до підвищення, а до зниження ступеня рівнянь. p> Метод, про який йде мова, заснований на використанні теорії так званих симетричних многочленів. Сама теорія дуже проста і вона дозволяє вирішувати не тільки багато систем алгебраїчних рівнянь, але і різні інші алгебраїчні завдання (рішення ірраціональних рівнянь, доказ тотожностей і нерівностей, розкладання на множники і так далі). За допомогою теорії симетричних м...
