ння слід шукати у вигляді узагальненого статечного ряду:
В
Підставляючи ряд (2) в рівняння (1), отримаємо
(3)
Прирівнюючи нулю коефіцієнти при різних ступенях x, будемо мати:
В В В
З першої рівності знаходимо два значення для р: p1 = і p2 = -
Якщо ми візьмемо перший корінь р =, то з формул (5) і (6) отримаємо:
В
Звідси випливає, що a2k +1 = 0 (k = 2, 3, 4, ...), а коефіцієнти з парними індексами визначаються, очевидно, за формулами:
В
З яких ясно, що загальний вираз для коефіцієнтів має такий вигляд:
В
Що стосується коефіцієнта a0, який був до цих пір зовсім довільним, то виберемо його таким чином:
В В
де Г () - гамма-функція, яка визначається для всіх позитивних значень (а також для всіх комплексних значень з позитивною дійсною частиною) наступним чином:
В
При такому виборі а0 коефіцієнт а2k може бути записаний у вигляді:
В
Це вираз може бути спрощене, якщо скористатися одним з основних властивостей гамма-функції. Для цього проинтегрируем праву частину рівності (8) по частинах; тоді отримаємо таку основну формулу:
В
Зазначимо, що формула (10) дає можливість визначити гамма-функцію для від'ємних значень, а також і для всіх комплексних значень.
Нехай k - деяке ціле позитивне число. Застосовуючи кілька разів формулу (10), отримаємо
В
Вважаючи в цій формулі = 0, знайдемо, в силу рівності
В
інше важливе властивість гамма-функції, яке виражається
Г (k +1) = k! (12)
Бессель рівняння функція ортогональность
За допомогою формули (11) вираз (9) для коефіцієнта а 2k прийме наступний вигляд:
В
Вносячи знайдені значення коефіцієнтів а2k +1 та а2k в ряд (2), отримаємо приватне рішення рівняння (1). Це рішення носить назву функції Бесселя 1-го роду - го порядку і позначається зазвичай через JV (x). p> Таким чином,
В
Ряд (14) сходиться при будь-якому значенні x, у чому неважко переконатися, застосовуючи ознака Даламбера.
Використовуючи другий корінь p2 = -, можна побудувати другу приватне рішення рівняння (1). Воно може бути отримано, очевидно, з рішення (14) простою заміною на -, так як рівняння (1) містить тільки 2 і не змінюється при заміні на -:
В
Якщо не дорівнює цілому числу, то приватні рішення JV (x) і JV (x). рівняння Бесселя (1) будуть лінійно незалежними, так як розкладання, що стоять в правих частинах формул (14) і (15), починаються з різних ступенів х. Якщо ж є ціле позитивне число n, то в цьому випадку легко виявити лінійну залежність рішень Jn (x) і Jn (x). Дійсно, при цілому для к = 0, 1, 2, ..., n-1 величина - + k +1 приймає цілі негативні значення або ...
