ених речових nx n-матриць. Тоді, очевидно, послідовність завдань
, k = 0,1,2, ...
має ті ж рішення, що і вихідне рівняння (2.1а), і для наближеного знаходження цих рішень можна формально записати ітераційний процес
, k = 0,1,2, ... (3.1.1)
прі. У випадку - це дійсно МПІ з лінійною збіжністю послідовності () Якщо ж різні при різних k, то формула (3.1.1) визначає велике сімейство ітераційних методів з матричними параметрами. Розглянемо деякі з методів цього сімейства. p> Покладемо, де
В
матриця Якобі вектор-функції F (x). Підставивши це в (3.1.1), отримуємо явну формулу методу Ньютона
, (3.1.2)
узагальнюючого на багатовимірний випадок скалярний метод Ньютона (5.14). Цю формулу, що вимагає звернення матриць на кожній ітерації, можна переписати у неявному вигляді:
. (3.1.3)
Застосування (3.1.3) передбачає при кожному k = 0,1,2, ... рішення лінійної алгебраїчної системи
В
щодо векторної поправки, а потім додаток цієї поправки до поточного наближенню для отримання наступного:
.
До вирішення таких лінійних систем можна залучати найрізноманітніші методи як прямі, так і ітераційні залежно від розмірності n розв'язуваної задачі і специфіки матриць Якобі (наприклад, можна враховувати їх симетричність, розрідженість і т.п.).
Порівнюючи (3.1.3) з формальним розкладанням F (x) в ряд Тейлора
,
бачимо, що послідовність () в методі Ньютона виходить в результаті підміни при кожному k = 0,1,2, ... нелінійного рівняння F (x) = 0 або, що те ж (при достатній гладкості F (x)), рівняння
В
лінійним рівнянням
В
т. е. з покрокової лінеаризацією. Як наслідок цього факту, можна розраховувати, що при достатній гладкості F (x) і досить хорошому початковому наближенні збіжність породжуваної методом Ньютона послідовності () до вирішення буде квадратичної і в багатовимірному випадку. Є ряд теорем, що встановлюють це при тих чи інших припущеннях. Зокрема, одна з таких теорем наводиться нижче. p> Новим, порівняно зі скалярним випадком, чинником, який ускладнює застосування методу Ньютона до вирішення n-мірних систем, є необхідність вирішення n-мірних лінійних завдань на кожній ітерації (обігу матриць в (3.1.2) або рішення СЛАР в (3.1 .3)), обчислювальні витрати на які зростають із зростанням n, взагалі кажучи, непропорційно швидко. Зменшення таких витрат - один з напрямків модифікації методу Ньютона. br/>
3.2 Модифікований метод Ньютона
Якщо матрицю Якобі F '(х) обчислити і звернути лише один раз - в початковій точці, то від методу Ньютона (3.1.2) прийдемо до модифікованим методом Ньютона
(3.2.1)
Цей метод вимагає значно менших обчислювальних витрат на один ітераційний крок, але ітерацій при цьому може знадобитися значно більше для досягнення заданої точнос...
