у, що А 1 А 2 | | l ,. Точка А 2 при гомотетии перейде в точку А 3 . Зауважимо, що пряма - інваріантна пряма всій трансформації (по теоремі про нерухомих прямих). З точок А 1 і А 2 проведемо перпендикуляри на пряму q - А 1 У 1 і А 2 У 2 , а з точок А і А 3 - на пряму q 1 - АВ і А 3 У 3 . Тоді АВ і А 3 У 3 - образи відрізків А 1 У 1 і А 2 У 2 при гомотетии, значить,, отже,. Ми отримали, що при цій трансформації відстань від точки А до прямої q 1 змінилося в m разів:. Причому з того, що А 1 А 2 | | l , випливає, що AA 3 | | l , тому що при гомотетии пряма переходить у паралельну їй пряму , Значить, точка А змістилася в напрямку l . Отже, в силу довільності точки А , шукана трансформація є косе стиснення з віссю, напрямком l і коефіцієнтом m .
13.3. Трансформація зсуву гомотетии
Розглянемо гомотетии і зсув g з віссю q і коефіцієнтом m . Знайдемо, що представляє собою трансформація зсуву гомотетии -, для цього візьмемо довільну точку А і знайдемо її образ при даній трансформації (рис. 8).
Точка А при гомотетии перейде в точку А 1 , яка при зсуві перейде в точку А 2 таку, що А 1 А 2 | | q ,. Точка А 2 при гомотетииВ перейде в точку А 3 . Зауважимо, що пряма - інваріантна пряма всій трансформації (по теоремі про нерухомих прямих). З точки А 1 проведемо перпендикуляр на пряму q А 1 У 1 , а з точки А - На пряму q 1 - АВ . Тоді АВ - Образ відрізка А 1 У 1 при гомотетии, також АА 3 - Образ відрізка А 1 А 2 при гомотетии, значить, і АА 3 | | А 1 А 2 | | q | | q 1 , (тому що при гомотетии пряма переходить у паралельну їй пряму), отже, і АА 3 | | q 1 . Ми отримали, що при цій трансформації точка А зміщується паралельно прямий q 1 на відстань, пропорційне її віддалі від прямої q 1 :. Отже, в силу довільності точки А , шукана трансформація є зрушення з віссю і коефіцієнтом m .
14. Тран...
