lign="justify">. (7.5)
Висновок. За допомогою перетворення Фур'є диференціальне рівняння (7.1) в приватних похідних переведено в звичайне диференціальне рівняння
. (7.6)
Для рівняння (7.6) маємо початкові умови:
при буде . (7.7)
Вирішуємо отриману завдання Коші
(7.8)
Вирішуємо рівняння (7.8)
, , , (7.10)
(тривіальне рішення (7.8) є ).
Знайдемо приватне рішення, яке задовольняє початковим умовам (7.9) , то . Тоді
. (7.11)
Далі знайдемо таку функцію , що
. (7.12)
Рівність (7.11) має вигляд
. (7.13)
Знайдемо функцію , перетворення Фур'є якої є .
Використовуємо формулу обернення перетворення Фур'є
В
.
Рівність прийме вигляд:
В В
. (714)
Застосуємо до обох частин рівності (10.14) оператор звернення перетворення Фур'є (показати, що , також згортка (10.14) з )
Отримаємо:
(7.15)
інтеграл Пуассона для вирішення рівняння теплопровідності стержня.
Завдання 2.2. Багато фізичні прилади - це оператори (перетворювачі). На вхід приладів подаються сигнали функції , , ... - вони входять в область визначення оператора. На виході отримуємо відповідно функції , , .... Наприклад, підсилювачі можна розглядати як оператори, що перетворюють напругу змінного струму , що подається на вхід, в напруга змінного струму, одержуваного на виході. Перетворювач називається лінійним, якщо він задовольняє таким умовам:
якщо перетвориться в ...
