рервність, як він її визначав, - це поняття, якого потребують математики і фізики. Завдяки цьому багато вчення містиків, начебто Бергсона, були визнані застарілими.
Кантор також дозволив давнішню логічну загадку нескінченних чисел. Візьмемо ряд цілих чисел, починаючи з 1, скільки їх? Ясно, що їх числа не звичайно. Перед тисячею мається тисяча чисел, перед мільйоном - мільйон. Яке б кінцеве число ми не назвали, ясно, що загальна кількість цілих чисел більше цього, так як від одиниці до даного числа мається якраз дане число чисел, і ж є ще й інші числа, які більше даного. Число кінцевих цілих чисел повинно бути тому нескінченним числом. Але далі слід цікавий факт. Число парних чисел має бути таке ж, як і число всіх цілих чисел. Розглянемо два ряди:
1,2,3,4,5,6 ...
2,4,6,8,10,12 ...
Кожному з чисел верхнього ряду відповідає число в нижньому ряду, тому число членів в обох рядах повинна бути однаково, хоча нижній ряд складається тільки з половини членів верхнього ряду. Лейбніц, який помітив це, вважав це протиріччям і уклав, що хоча є нескінченні сукупності, але не мається нескінченних чисел. Навпаки, Георг Кантор сміливо заперечував наявність тут протиріччя. Він був правий: це тільки здається дивним. p> Георг Кантор визначив В«нескінченнеВ» безліч як має частини, що містять настільки ж багато членів, як і всі безліч. На цій основі він зміг побудувати найбільш цікаву математичну теорію нескінченних чисел, включивши в область точної логіки цілу область, до цього повну містицизму і плутанини.
Наступною значною фігурою був Фреге, який опублікував свою першу роботу в 1879 році, а в 1884 році дав своє визначення В«числаВ». Але, незважаючи на те що його дослідження відкривали нову епоху, він залишався невизнаним до тих пір, поки в 1903 році я не привернув уваги до його робіт. Цікаво відзначити, що всі визначення числа, запропоновані до Фреге, містили елементарні логічні помилки. Зазвичай В«числоВ» раніше ототожнювали з В«Множинністю, сукупністюВ». Однак конкретний приклад В«числаВ» - це певне число, скажімо 3, а конкретний приклад 3 - це певна трійка. Трійка і є сукупність, а клас всіх трійок, який Фреге ототожнює з числом 3, є сукупність сукупностей, а число взагалі, окремим випадком якого є 3, є сукупність сукупностей сукупностей. Елементарна грам атіческая помилка, яка полягає у змішуванні числа взагалі з простою сукупністю даної трійки, зробила всю філософію числа до Фреге переплетенням абсурду в самому строгому сенсі слова. З робіт Фреге випливає, що арифметика і чиста математика в загальному є не що інше, як продовження дедуктивної логіки. Це спростовує теорію Канта про те, що арифметичні судження є В«СинтетичнимиВ» і містять в собі посилання на час. Подальше виведення чистої математики з логіки було детально здійснено Уайтхед і мною в В«Principia MathematicaВ».
Поступово ставало ясним, що більшу частину філософії можна звести до так званого В«синтаксисуВ», хоча це сло...
