Теорема 2.7.: Нехай - простір однорідних многочленів ступеня п від двох комплексних змінних з дією на ньому групи SU (2), визначеним за правилом
для кожного елемента
,.
Тоді (, Vn) - неприводимого уявлення SU (2) розмірності n +1. При п парному (, Vn) є також непріводімим поданням групи SO (3).
Доказ: Припустимо, що многочлен
міститься в деякому інваріантному підпросторі UVn. Тоді також
,
де - елемент з SU (2) виду (4). Так як - довільне дійсне число з інтервалу (0,2), то можна скласти лінійну систему з визначником Вандермонда, з якої випливає, що
(11)
для будь-якого одночлена з коефіцієнтом. Але якщо для якогось k, то і
.
Взявши g с, ми прийдемо в силу (11) до включення, яке в свою чергу дає нам
.
Так як, то, s=0,1, ..., n. Стало бути,, і Непріводімие доведена.
Далі
,
так що при n=2m виконана умова парності і можна вважати непріводімим поданням розмірності 2n +1.
Насправді еквівалентно поданням групи SO (3) на просторі однорідних гармонійних многочленів ступеня m, але ми на цьому не зупиняємося, як і не намагаємося (хоча це можливо) вибрати в Vn такий базис, щоб вистава стала унітарною. Відзначимо тільки, запозичуючи термінологію з тензорного аналізу, що подання групи SU (2) реалізується також у класі коваріантних симетричних тензорів рангу п. Повну і досить прозору теорію уявлень компактних груп, включаючи SU (2) і SO (3), зазвичай розвивають в рамках інфінітезимального методу, що спирається на відповідність між групами і алгебрами Лі.
Висновок
У представленій курсовій роботі було розглянуто поняття «групи». Дане поняття широко використовується в курсі вищої алгебри. Для досягнення поставленої мети була відібрана відповідна література.
Завдання, поставлені при написанні роботи, вирішені:
1. підібрана і вивчена наукова, навчальна та методична література з теми дослідження;
2. систематизовано теоретичні відомості по темі.
Література
математика група матриця
1.Ван дер Вандер, Алгебра.- М.: Наука, 1976. - 648с.
2.Каргаполов, А.І., Мерзляков Ю.І. Основи теорії груп.- М.: Наука, 1982. - 288с.
. Кострикін, А.І. Введення в алгебру.-М.: Наука, 1977. - 495с.
. Дік, Т. Групи перетворень і теорія зображень.- М.: Світ, 1982. - 227с.
. Віберг, Е.Б. Лінійне уявлення груп.- М.: Наука, 1985. - 144с.
. Беллман, Р. Введення втеорію матриць. М.: Наука, 1978. - 351с.
. Борут, А., Рончка, Р. Теорія уявлень груп та її застосування. Тома 1-2. М.: Світ, 1980.
. Вейль, Г. Класичні групи, їх інваріанти і представленія.-М.: Госіздан, 1947. - 48с.
