місце точок, для яких
сума відстаней від даних двох фіксованих точок площини (ось вони наші гвоздики з експерименту!) є величина постійна. Причому необхідно, що б ця постійна була більше відстаней між фокусами (а ось і наша нерозтяжна нитку!) - Дивись рис.20
В
Рис.20
На малюнку 20
точки F 1 (- c, 0) і F 2 (c, 0) - фокуси еліпса;
- і - відповідно лівий і правий фокальні радіуси;
0a - велика піввісь еліпса;
0b - мала піввісь еліпса.
точка М - В«біжучийВ» точка, яка в будь-який момент руху належить еліпсу.
При цьому виконується умова
? a> 2? c.
Зв'язок між півосями і координатами фокусів еліпса
В
Канонічне рівняння еліпса
Канонічним рівнянням еліпса називається алгебраїчне вираз другого порядку
В
Зауваження про канонічність рівняння
Канонічним воно називається тому, що описує еліпс, розташований канонічним чином: симетрично відносно і осі Ox, і осі Oy. Еліпс, розташований будь-яким іншим способом: або так, як на Рис. 21,
В
Рис.21
або так, як на Рис.22,
В
Рис.22
буде як і раніше описуватися алгебраїчним виразом другого порядку, але має менш витончену форму.
Ексцентриситет еліпса
Ексцентриситетом еліпса називається відношення половини відстані між фокусами до довжини його великої півосі
В
Визначення не цілком наочне і інформативне, куди як більш наочним воно стає при використанні зв'язку між півосями і координатами фокусів:
В
Тоді
В
звідки отримуємо іншу форму обчислення ексцентриситету
В
Звідки відразу ж видно, що при рівності великої і малої півосей (a = b - при перетворенні еліпса в коло) ексцентриситет дорівнює нулю. Тобто окружність - це еліпс з нульовим ексцентриситетом!
Або - ексцентриситет показує ступінь В«сплюснутостіВ» еліпса: чим більше він відрізняється нуля, тим більше він сплюснут!
Зв'язок між фокальними радіусами і ексцентриситетом еліпса
r 1 + r 2 < span align = "justify"> = 2? a 1 = a +?? x
r 2 = a -?? x.
Приклад 18 (одержання рівняння еліпса)
Отримати канонічне рівняння еліпса, що проходить через точки
Рішення
У даному випадку В«отримати канонічне рівняння еліпсаВ» - значить, знайти конкретні значення a і b (великої і малої півосей). Радує те, що точок у нас дві і невідомих то ж дві, тобто може бути отримана система алгебраїчних рівнянь: підставляємо координати першої точки в одне рівняння еліпса, а другий точки - у другу
В
Т.ч., шукане канонічне рівняння еліпса
В
.3 Гіпербола
Гіперболою називається геометричне місце точок, для яких різниця відстаней від двох фіксованих точок (званих фокусами) есть величина постійна. Причому зазначена різниця береться за абсолютним значенням і необхідно, що б вона була менше відстані між фокусами і не дорівнює нулю. (Див. Рис.23)
В
Рис.23
На малюнку:
- лівий фокальний радіус;
- правий фокальний радіус;
(- с; 0) - координати лівого фокуса (точки F1);
(с; 0) - координати правого фокуса (точки F2);
- дійсна піввісь гіперболи;
- уявна піввісь гіперболи;
точка (а, 0) - права вершина гіперболи;
точка (- а, 0) - ліва вершина гіперболи;
прямі - асимптоти гіперболи.
Назви піввісь не випадкові: точки гіперболи належать, а точки - гіперболі не належить (тому й вісь - уявна), але уявна піввісь, хоча і не є частиною гіперболи, цілком визначає її форму, оскільки саме між асимптотами гіперболи і розташовуються гілки її.
Канонічне рівняння гіперболи
В
( дивись зауваження про канонічності рівняння ).
Зв'язок між півосями і координ...
