жу можна розглядати як вільну поверхню - струмінь, що сходить з обтічного контуру. Так як тиск на нескінченності буде більше, ніж, то тепер вільна поверхня не йтиме в нескінченність, а буде прагнути замкнутися на кінцевій відстані від профілю (малюнок 19).
Тепер можна розглянути ідеальну схему явищ.
Малюнок 19 Пряме обтікання пластинки
При обтіканні позаду тіла утворюються вільні поверхні, які змикаються позаду тіла і породжує струмінь, втікає всередину каверни. Тоді доведеться ввести струмінь всередину каверни, а сам рух розглядати на ріманової поверхні, причому вважати, що струмінь переходить на другий лист поверхні і там йде в нескінченність. Тиск уздовж поверхні каверни усюди одно (тиск незбуреного потоку), а напрямок струменя, що входить в каверн, прямо протилежно напрямку швидкості потоку, що набігає на тіло.
Метод рішення задачі проілюструємо на прикладі прямого обтікання пластинки (малюнок 19).
Введемо допоміжну площину і уявімо, що вся зовнішність каверни відображена конформно на внутрішність півкола з діаметром уздовж дійсної осі (рисунок 20).
Нехай при цьому поверхня струменя переходить в верхній півколо, а точки і (краю пластинки) переходять в точки і відповідно (точки і площини).
Ми вже домовилися втеканіе цівки в порожнину каверни представляти як перехід на другий лист ріманової поверхні. Нехай втеканіе відбувається в точці.
Переходячи на другий лист в точці, струмінь йде на нескінченність.
Малюнок 20 Півколо з діаметром уздовж дійсної осі
Нехай точці відповідає на площині точка. Так як лежить на струмені, то знаходиться на півкола в площині, причому в силу симетрії задачі точці відповідає точка. Крім критичної точки, яка переходить у, в цьому потоці матимемо ще одну критичну точку поза області кавітації. Нехай вона переходить в точку на уявної осі з координатою Нескінченно віддаленій точці першого аркуша площині відповідає точка з координатою Нехай відображення дається функцією Позначимо і будемо розглядати як комплексний потенціал деякого фіксованого течії всередині цієї півкола в площині. За особливостями в площині легко визначити вид функції. Дійсно, в цьому фіктивному перебігу ми повинні розташувати особливість типу стоку в точці, особливість типу дублета в точці, вихор в точці; точки і цієї течії, так само як і та, повинні бути критичними точками. Таким чином, має полюс першого порядку в точці, полюс другого порядку в точці, нулі першого порядку в точках Оскільки на півколі і на діаметрі можна продовжити на всю площину, використовуючи віддзеркалення від діаметру і інверсію по відношенню до одиничного колу. Тоді додадуться ще полюс 1-го порядкуа в точці, полюса другого порядку в точках нулі першого порядку в точках Функція буде раціональної на всій площині.
Запишемо
(49)
Позначимо тепер через постійну величину швидкості на кордоні каверни. Зауважимо, насамперед, що всередині верхнього півкола функція має нулі в точках і.
Будуючи по нулях і полюсів, отримаємо
де постійна, яку знайдемо з умови, що при буде (швидкість спрямована в точці в бік, протилежний напрямку обтікання). Таким чином,
Отже,
(50)
З (49) і (50) відразу випливає, що
(51)
Для визначення значень трьох постійних і будуть служити три умови:
1) умова для швидкості набігаючого потоку;
2) умова однозначності відповідності в точці і в точці;
) рівняння, що дає ширину пластинки.
Згідно першому умові, якщо, то, тоді
(52)
Другому умові задовольнимо, якщо зажадаємо рівності нулю вирахування в точці. Це можна звести до рівності
Виробляючи розрахунки, отримаємо
(53)
Рівняння (52) і (53) визначають і через Для визначення треба використовувати умова, що дає ширину пластинки, т.е.
(54)
Інтегрування в (54) виконується, якщо розкласти (51) на елементарні дроби. Якщо використовувати ще (51) і (52), одержимо [24, c. 354]
Кількість кавітації визначається за формулою
Застосовуючи закон Бернуллі, отримаємо, що ставлення, що входить до формули, просто виражається через число кавітації, т.е.
3.4 Метод конформних відображень в аеродинаміці
.4.1 Обтікання профілів Жуковського
Конформне перетворення
(55)
застосоване при вивченні обтікання еліптичного циліндра
відображає окружність одиничного радіуса в площині
(56)
на відрізок осі між фокусами еліпса [,] в площині, причому цей відрізок проходиться двічі в протилежних напрямках, коли відповідна точка пробігає ок...
