ружність (56) один раз.
Наводячи формулу (55) до виду
і вводячи нові змінні і за допомогою перетворення подібності
бачимо, що перетворення
(57)
переводить коло радіуса
площини в відрізок дійсної осі площині, пройдений двічі. Представивши перетворення у вигляді
можемо переконатися, що окружність площині з центром на уявної осі в деякій точці, через точки і дійсній осі, перейде в дугу кола на площині, що спирається на точки і дійсної осі і має вершину в точці на уявної осі, при цьому дуга проходить двічі (малюнок 21).
Крім того, маємо
(58)
Називаючи через модулі чисел а через їхні аргументи, маємо
звідки
(59)
Згадані комплексні числа виражаються векторами і, значить, різниці
висловлюють кути, під якими відрізки і видні відповідно з точок і; а так як для окружності, то внаслідок (59) буде і, тобто лінія являє собою дугу кола.
а) б)
Малюнок 21 Профіль Жуковського
Таким чином, перетворення (57) відображає повну окружність площині
де
хорда якої вміщує з боку центру кут і спирається на центральний кут (малюнок 21)
,
в дугу площині, хорда якої вміщує з боку, протилежного центру, кут і спирається на центральний кут
Радіус дуги знайдеться з трикутника за формулою
При цьому повного обходу окружності відповідає двічі прохідна в протилежних напрямках дуга.
Розглянемо поряд з окружністю, яку будемо називати основною, деяку сусідню коло радіуса, центр якої помістимо на продовженні радіуса основного кола так, щоб вона стосувалася основного кола в точці (малюнок 21).
Так як окружностьохвативает повністю коло, то після застосування перетворення (57) вона перейде в деяку замкнуту криву охоплює дугу. У точці крива стосуватиметься дуги, підходячи до неї з обох сторін, тобто утворюючи вістря.
Якщо через центр кола провести координатні осі паралельно осям, то точки комплексної площині щодо нових осей будуть пов'язані з відповідними точками площині за допомогою перетворення паралельного переносу
(60)
де комплексне число площині, що зображує. Вводячи в розгляд кут нахилу радіуса основного кола до негативного напрямку дійсної осі, маємо
,
і, значить,
де
Таким чином,
Нехай тепер окружність обтекается в площині поступальним потоком з циркуляцією; нехай при цьому швидкість в нескінченності цього потоку утворює кут з позитивним напрямком дійсної осі, так що
Комплексний потенціал течії виражається формулою
Висловивши тут спочатку на підставі (60)
де, а потім через на підставі формули (57), яка дає
отримаємо комплексний потенціал течії при обтіканні профілю в площині:
Обчислюючи комплексну швидкість в нескінченності для течії в площині, маємо
і, значить,
Швидкість потоку в площині біля задньої точки контуру може виявитися нескінченної
т.е
при
Для того щоб задача обтікання профілю мала фізичний зміст, швидкість потоку на профілі і поза ним повинна залишатися кінцевої. Тому підберемо інтенсивність циркуляції так, щоб задовольнити вимогу кінцівки швидкості. Для цього виберемо так, щоб в точці площині, тобто при.
Виробляючи обчислення, знайдемо:
(61)
де
Для розрахунку головного вектора гідродинамічних реакцій (на одиницю довжини циліндра), прикладених до профілю з боку потоку, скористаємося формулою Кутта-Жуковського
Підставляючи сюди вираз для (61), маємо
(62)
Вектор, спрямований перпендикулярно вектору швидкості називають підтримуючої силою; для величини маємо
При малих можна наближено покласти
або
(63)
До тих же формулами приходить Жуковський, застосовуючи перетворення
де вказане С.А. Чаплигиним і не відмінне по суті від перетворення (55) або (57), застосованого вище.
Профілі, одержувані застосуванням того або іншого перетворень до деякої окружності, дотичної з основною окружністю в особливій точці перетворення і укладає всередині другого особливу точку, отримали загальну назву профілів Жуковського, вперше вказав на їх застосування в якості профілів крила аероплана.
Профілі Жуковського при заданій відстані в площині профілю між особли...
