чотірікутнік мінімального периметра існує? Чі буде ВІН Єдиним?
Завдання Ферма-Торрічеллі-Штейнера
Історія цього Завдання налічує понад трьох з половиною століть. Вона булу поміщена в Книзі італійського фізика и механіка Вівіані «Про максимальних и мінімальніх значення» в 1659 году. Вінченті Вівіані (1622-1703) БУВ учнем великого Галілео Галілея. Нам ВІН більш відомій як винахідник ртутного барометра (приладнати для вимірювання атмосферного тиску), а своим сучасникам - як одна з кращих фахівців по завданнях на максимум и мінімум, а такоже з Теорії конічніх перетінів. Свій твір Вівіані, дотрімуючісь традіцій того годині, забезпечен Довгого Назв: «П ята книга творів Аполлонія Пергського про конічніх Перетин, містіть в Собі Перші дослідження про найбільшіх и найменших велічінахі візнається самим чудовим пам ятника цього великого геометра» («De maximis et minimis geometrica divinatio in quintumconicorum Apollonii Pergoei nunc desideratum »). Серед безлічі завдань на максимум и мінімум, поміщеніх в Цій Книзі, є така:
. На площіні дано три крапки A, B, C, что не лежати на одній прямій. Для якої точки T площіні сума відстаней AT + BT + CT найменша?
Ще до книги Вівіані ЦІМ Завдання цікавівся італійський математик Бенавентура Кавальєрі (1598-1647), автор знаменитого «принципом Кавальєрі» для обчислення площ и обсягів, что передбача інтегральне числення, а такоже математик и фізик Еванджеліста Торрічеллі ( 1608-1647). Кажуть, що самє Торрічеллі получил перше решение цього Завдання (швідше за все, засновання на фізичних міркуваннях). Торрічеллі, як и Вівіані, БУВ учнем Галілея. Саме ним напрікінці свого життя вже осліпнув Галілей діктував глави зі своєї книги «Бесіди про механіку». Подібно Багат Вченіє пізнього Відродження, Торрічеллі БУВ різнобічною ЛЮДИНОЮ. Будучи професором математики Флорентійського університету, ВІН много займався Завдання фізики (его закон розподілу тиску Рідини відомій тепер шкірному школяреві), а такоже механіки, балістікі и оптики, и даже написавши кілька робіт з конструювання оптичних приладів та шліфовці лінз. Согласно з іншімі ДЖЕРЕЛО, Незалежності від Торрічеллі, це Завдання решил и Найбільший французький математик П'єр Ферма (1601-1665). А перше чисто геометричність решение Належить, мабуть, Швейцарський геометру Якобу Штейнеру (1796-1863), про которого мова ще Попереду.
Мал.13
розвязання. Знову скорістаємося тім же прийому: вібудуємо відрізкі AT, BT и CT в Ламанов лінію. Тепер, однак, вместо сіметрії застосуємо поворот. Повернемо площинах на 60? вокруг точки A, при цьом точка C перейшовши в Деяк точку D, а точка T - в точку N. Трикутник AND дорівнює трикутнику ATC, оскількі переходити у него при повороті на 60 ?, значити TC=ND. Трикутник ANT - рівносторонній, так як AT=AN и TAN=60 ?, того TA=TN. Отже, сума AT + BT + CT дорівнює довжіні ламаної BTND, а значити, вон НЕ менше довжина відрізка BD (малий. 13). Рівність досягається, коли точки B, T, N, и D лежати на одній прямій (у зазначеній послідовності). Це означає, что BTA + ATN=180? І, отже, BTA=120 ?; а такоже AND + ANT=180 ?, значити, AND=120 ?, того ATC=120 ?. Таким чином, Промені TA, TB и TC утворюють дві кута в 120 ?, того и третій кут между ними такоже дорівнює 120? (малий. 13). Точка T, з якої всі Сторони трикутника видно під кутамі 120?, Має кілька назв. Іноді ее назівають цяткою Ферма, іноді - цяткою Торрічеллі, іноді - цяткою Штейнера. Доказ, Пожалуйста ми привели, з поворотом площини на 60?, Належить Якобу Штейнеру. З его Чудов результатами ми ще не раз зустрінемося в Цій Книзі. А Першів за годиною з ціх трьох математіків БУВ Торрічеллі. Тому ми будемо назіваті Цю точку, по праву першості, цяткою Торрічеллі (мі и позначілі ее буквою T). Це ще одне чудова точка трикутника, поряд з центром ваги (цяткою Перетин медіан), ортоцентром (цяткою Перетин висот), центрами вписаного и описаного Кіл. Правда, На Відміну Від чотірьох чудовим точок, точка Торрічеллі існує не у будь-которого трикутника. Однако ми Вже довели, что
Если у трикутника є точка Торрічеллі, то вона є Єдиною точкою мінімуму суми відстаней до вершин трикутника.
Колі ж точка Торрічеллі існує? Нехай з трьох кутів трикутника кут при вершіні A є найбільшім. Побудуємо на сторонах AC и AB всередину трикутника ABC дуги Кіл, що містять по 120?. ЦІ дуги перетінаються в точці A. Если ж кут A менше 120?, То ЦІ дуги мают галі и одному точку Перетин (доведіть це!), Яку ми позначімо через T. Це и є точка Торрічеллі. Справді, так як куті ATC и ATB з побудова Рівні 120?, То й третій кут BTC такоже виходим дорівнює 360?- 120? · 2=120 ?. І навпаки, если точка Торрічеллі існує, то вона будується самє таким чином, оскількі винна лежать на перетіні дуг Кіл завбільшки в 120?, Побудованіх на сторонах трикутника. Отже,
Трикутник має точку Торрічеллі тоді и только то...
