i> s ) = C n ( s ) + dF ( s ).
Висловимо рішення системи алгебраїчних рівнянь - зображення вектора станів - в такій формі:
n ( s ) = ( sI - A ) -1 BF ( s ), (29)
де ( sI - A ) - 1 - Матриця, зворотна характеристичної матриці ( sI - A ) матриці А ; I - одинична матриця. Підставимо (28) в (29) і отримаємо
В
Y ( s ) = W ( s ) F (< i> s ) = [ C ( sI - A ) -1 B + d ] F ( s ).
Передавальна функція W може бути записана і інакше, якщо врахувати, що
( sI - A ) -1 = ( sI - A ) * / A ( s ), (30)
де ( sI - A ) * - Приєднана матриця;
В
A ( s ) = det ( sI - A ), (31)
В
A ( s ) - визначник характеристичної матриці - характеристичний поліном системи диференціальних рівнянь (17).
З урахуванням (30) передавальна функція запишеться як
(32)
Елементами приєднаної матриці (sI - A) * є алгебраїчні доповнення елементів характеристичної матриці ( sI - A ), тобто поліноми. Їх ступеня не можуть перевершувати n - 1. Таким чином, як видно з формули (32), ступінь m = deg B полінома чисельника передавальної функції W не може бути вище ступеня n = deg A характеристичного полінома і дорівнює їй тільки при. Це обмежує можливості опису динамічних систем у нормальній формі простору станів.
Маючи поліноми передавальної функції (32), легко записати диференціальне рівняння n -го порядку.
Перетворимо по Лапласа рівняння (27)
В
s n (s) - n (0) = A n ( s ) + BF ( s )
і отримаємо вираз для зображення вектора стану
n ( s ) = ( sI - A ) -1 n (0) + (< i> sI - A ) -1 BF ( s ). (33)
У цій сумі перші доданок - вільне, а друге - вимушене руху системи. Для отримання оригіналу - функції часу n ( t ) виконується операція зворотного перетворення Лапласа. У даному випадку вираз для зображення являє собою матрицю, проте справедлива аналогія зі скалярним випадком. Оригінал скалярної функції
В
має вигляд експоненти. Виявляється, що аналогічне вираз має місце і в матричному випадку, тобто
В
L -1 {( sI - A ) -1 } = e At = Ф ( t ),
що є матричної експонентою, званої матрицею переходу. Твору зображень відповідає згортка оригіналів, це справедливо і для матриць. Тому вектор стану як функція часу виходить з виразу (33) і має наступний вигляд:
(34)
Зображення змінної виходу при нульових початкових умовах n (0) = 0 вийде підстановкою другого доданка виразу (33) в друге рівняння системи (27):
В
Якщо на вхід системи подається одиничний імпульс, тобто F ( s ) = 1, то реакція системи (імпульсна перехідна функція) визначається з виразу (34):
(35)
Зіставляючи отриману формулу з виразом для передавальної функції (32), помічаємо, що
.
Звідси випливає один з способів отримання матриці переходу шляхом звернення по Лапласа матриці ( sI - A ) -1 .
2.6 Моделі систем управління з розкритою причинно-наслідкового структурою
Під структурою систем управління розуміють причинно-наслідковий зв'язок між елементами спрямованої дії. Поняття В«системаВ» і В«структураВ» є близькими за глузду. Найбільш загальні визначення понять системи і структури будуються як відносини на множинах, математично це графи . Графи є універсальним засобом опису структур систем. При невеликому числі елементів та зв'язків вельми наочні діаграми графів, тобто їх геометричні образи. p> Залежно від елементів множин розглядаються різні типи графів. Наведена на рис.3, а схема, що ілюструє принципи управління, відображає типові структури причинно-наслідкових відносин основних елементів систем управління і, по суті, являє собою орієнтований граф . Електрична та механічна схеми, зображені на рис.2, також є прикладами графів, тільки неорієнтованих. p> Маючи на увазі структуру зв'язків елементів, іноді говорять про топологію (топографії) системи. Навіть без конкретизації вершин і дуг, тобто тільки з топології, можна зробити ряд найважливіших висновків про вл...
