ормули відстані між двома точками виходить рівняння кола по її центру S (s) і радіусу R:
(14)
Нехай дано рівняння
, (15)
в якому на комплексні коефіцієнти а, b, з не накладається заздалегідь ніяких умов. Потрібно знайти безліч точок, координати яких йому задовольняють. З цією метою зручно представити його в еквівалентному вигляді:
. (16)
Розглянемо всі можливі випадки для коефіцієнтів а, b, с. p> 1. Порівнюючи рівняння (16) з рівнянням (14) окружності, приходимо до висновку, що рівняння (16), а значить, і рівняння (15) задають окружність тоді і тільки тоді, коли і ab-с - дійсне число. Так як в цьому випадку, то з повинне бути дійсним числом. p> Отже, рівняння
(17)
є рівняння кола з центром s =-b і радіусом.
2. При і з = ab рівнянням (16) задовольняє єдина точка s =-b. Зокрема, цей випадок має місце при а = b = с = 0. Дотримуючись аналогію, кажуть, що рівнянням задається коло з центром s =-b нульового радіусу. p> 3. Якщо,, але, то - суто уявне число. Вважаємо, тоді (16) можна записати так:
. (18)
Рівнянню (18) не задовольняє ні одна точка площини, оскільки ліва частина неотрицательна, а права негативна при будь-якому значенні z. Кажуть, що це рівняння є рівняння кола мнимого радіуса iR з дійсним центром S, які мають комплексну координату s =-b. p> 4. Коли, але, рівняння (16) суперечливо: ліва частина його дійсна, а права немає. У цьому випадку воно не задає ніякого геометричного образу (навіть уявного!). p> 5. Залишилося розглянути випадок, коли. Тоді з рівняння (15) віднімемо рівняння, що виходить з (15) переходом до зв'язаних комплексним числам. Одержуємо:
,
звідки
Виконуючи цю підстановку в рівняння (15), наводимо його до виду
< p>. (19)
При рівняння (15) і (19) рівносильні. Залежно від того, відмінний від нуля або дорівнює нулю дискримінант
квадратного рівняння (19), воно буде визначати дві різні (действітельние!) або дві збіглися точки. При D = 0 збіглися точки мають комплексну координату
Зокрема, при c = ab як рівняння (16), так і рівняння (19) дає пару точок z1 =-b і .
Отже, рівнянням (15) задається або окружність (дійсна, мні травня нульового радіуса), або дві точки (різні або ж збіглися), або порожній безліч точок.
Розглянемо одну чудову пару кіл.
Дві пересічні окружності називаються ортогональними, якщо дотичні до них у їх спільній точці перпендикулярні. Тоді, очевидно, дотична до однієї з ортогональних кіл в їх загальній точці містить центр інший окружності. p> Для того, щоб кола (A, R) і (В, r) були ортогональні, необхідно і достатньо, щоб | AB | 2 = R2 + r2, або
. (20)
Якщо окружності задані рівняннями
і
те, і тому критерій (20 ) їх ортогональності трансформується так:
(21)
Рішення задач
Задача 1. Хорди АВ і PQ кола пе...
