ретинаються в точці С. Знайти безліч точок М перетину прямих АР і BQ, якщо точки А, В, С постійні, а точки Р і Q пробігають цю окружність (рис.3). p>
Рішення. Нехай z - комплексна координата довільної точки М шуканого безлічі і дана окружність прийнята за одиничну. У силу залежності координат точок, що належать січною до кола (див. попередню статтю), маємо:
звідки. Підставляючи ці вирази в друге рівність, отримуємо:
,
або
Залучаючи, отриманому рівнянню додамо вид
< p>.
Тепер ясно, що шукане безліч точок являє собою пару прямих, однією з яких є пряма АВ, а інша має рівняння
(22)
у наведеній формі. Як бачимо, ця пряма не залежить від хорди АВ, а визначається лише колом і точкою С. Вона називається полярою точки С відносно кола. p> Завдання 2. Близько окружності описаний квадрат ABCD. Точки - ортогональні проекції його вершин A, В, С, D відповідно на довільну дотичну до кола. Довести, що
. p> Рішення. Радіус кола приймемо за одиницю довжини. Систему координат виберемо так, щоб точки дотику сторін АВ, ВС, CD, DA з колом мали координати. Тоді вершини А, В, С, D матимуть координати Дотична до кола в її довільній точці Р (р) має рівняння у наведеній формі. Керуючись формулою (13), знаходимо:
Аналогічно отримуємо:
Рівність доведено. p> Задача 3. Вершини A і В прямокутного рівнобедреного трикутника АВС спроектовані паралельно деякої прямої l на пряму, що проходить через вершину З прямого кута, відповідно в точки і. Довести, що сума залежить тільки від кута між віссю проекцій і прямої l (при заданому трикутнику АВС). p> Рішення. Приймемо вісь проекцій за дійсну вісь х і вершину С за початок Про . Пряму l проведемо через Про і поставимо належної їй точкою Р (р), | p | = 1. Її рівняння має вигляд. Якщо вершина A має координату а, | а | = 1, то вершині В відповідає число ai (рис. 4). p>
Прямі Аа1 і BB1 отримують рівняння і. Для точок, що лежать на осі х проекцій,. Підстановкою в попередні рівняння отримуємо координати точок А1 і В1:
. p> Знаходимо:
,
де - зазначений в умові завдання кут .
Задача 4. На колі взято чотири довільні точки А, В, С, D. Кола відповідно з центрами A, В, С і проходять через точку D перетинаються вдруге попарно в точках (мал. 5). Довести, що точки колінеарні. p> Рішення. Нехай окружність є одиничною і крапка D має координату d = l. Використовуючи рівняння (14) і той факт, що окружність має центр A (а) і містить точку D (1), отримуємо її рівняння
, або. Аналогічно окружності і матимуть рівняння
і
. p> Вирішуючи систему рівнянь кіл і, знаходимо координату другий загальної точки М3 цих кіл: m3 = a + b- ab.
Аналогічно m2 = c + a-ca, m1 = b + c-bc.
Звідси знаходимо:
.
Це число пов'язане самому собі, і тому точки колінеарні.
Зада...
