яка розташована вздовж цієї осі. br/>В
Приклад 5. Щодо декартової системи координат Oxyz в просторі поверхню визначається рівнянням
y2 + 4xy - 2xz - 4yz + 2x +14 y = 0.
За допомогою вибору нової декартової системи координат привести рівняння поверхні до канонічного виду. Рішення. Квадратична частина рівняння збігається з квадратичною формою з прикладу 3: k () = 3y2 + 4xy - 2xy - 4yz. Ми вже з'ясували, що за допомогою вибору нового ОНБ в просторі, ми можемо привести цю квадратичну форму до виду
() =-x Вў 2 - y Вў 2 + 5z Вў 2,
і при цьому формули заміни координат мають вигляд (17). Підставляємо цю заміну в лінійну частину рівняння: 2x +14 y, а квадратичну частину пишемо відразу в нових координатах:
-x Вў 2 - y Вў 2 + 5z Вў 2 + 2 +14
Розкриваємо дужки, наводимо подібні:
-x Вў 2 - y Вў 2 + 5z Вў 2 + x Вў - 4y Вў + 5z Вў = 0.
Виділяємо повні квадрати:
- (x Вў 2 - x Вў + (/ 2) 2) + - (y Вў 2 + 4y Вў + (2) 2) +12 +
+ 5 (z Вў 2 + z Вў + (/ 2) 2) - = 0.
- (x Вў -/2) 2 - (y Вў + 2) 2 +5 (z Вў +/2) 2 + 5 = 0.
Робимо заміну координат:
x ВІ = x Вў -/2, ВІ = y Вў + 2, ВІ = z Вў +/2.
Вона означає перенесення початку координат в точку
Вў (/ 2, -2, -/2) Ox Вў y Вў z Вў. br/>
Після заміни отримуємо рівняння
- (x ВІ) 2 - (y ВІ) 2 +5 (z ВІ) 2 = -5.
Ділимо його на -5 і остаточно отримуємо канонічне рівняння
+ - (z ВІ) 2 = 1.
Це рівняння задає однополостной гіперболоїд. Додатково можемо знайти координати точки O Вў у вихідній СК. p> Для цього підставимо знайдені вище її координати в (17). Отримаємо O Вў (-2,1,3) Oxyz. p> У наступному прикладі ми розглянемо випадок, коли всі числа l1, l2, l3 різні. Це найпростіший для вирішення приклад. p> Приклад 6. Щодо декартової системи координат Oxyz в просторі поверхню визначається рівнянням
x2 + 2y2 + 3z2 + 4xz - 4yz + 6x - 6y = 0.
За допомогою вибору нової декартової системи координат привести рівняння поверхні до канонічного виду.
Рішення. Складаємо матрицю A квадратичної частини рівняння матрицю A - lE:
A =, A - lE =. br/>
Знаходимо коефіцієнти характеристичного многочлена:
A = 4 + 2 + 3 = 9,
В
(ми додали до третьому рядку другу, а потім розкрили визначник по дві колонки). Складаємо характеристичне рівняння відповідно до формули (6):
-l3 + 9l2 - 18l + 0 = 0 Г› l (l2 - 9l +18) = 0.
Звідси l1 = 0, l2 = 3, l3 = 6. p> - 0E =,
Для даної системи найбільш зручним є наступний спосіб вирішення: з 1 і 2 другого рівнянь висловити x і y через z, а потім підставити в третє рівняння для перевірки.
x = -0,5 z,
y = z,
-z - 2z + 3z = 0.
Потім надаємо z довільне ненульове значення, напр...