ривої. Складемо матрицю A квадратичної форми k () і матрицю A - lE:
A =, A - lE =. br/>
Характеристичне рівняння можна скласти, розкривши визначник det (A - lE) і прирівнявши його до нуля. Але можна скористатися також наступною формулою для характеристичного рівняння:
l2 - (tr A) l + det A = 0.
У нашому випадку отримуємо рівняння l2 - 3l - 4 = 0. p> Воно має коріння l1 = 4, l2 = -1. p> Складемо матриці A - l1E і A - l2E:
A - 4E =, A + E =. br/>
За цим матрицям складаємо системи рівнянь для знаходження власних векторів і:
-4x - 2y = 0, x - 2y = 0,
-2x - y = 0,-2x + 4y = 0,
Їм задовольняють відповідно вектори (1, -2), (2, 1). p> Потім знаходимо | | =, | | =. p> Тому в якості нових базисних векторів беремо
,,
Матриця переходу до нового базису {,} має вигляд
С =.
Звідси отримуємо формули, що зв'язують старі і нові координати:
x = x Вў + y Вў, x Вў = x? y,
y =? x Вў + y Вў, y Вў = x + y,
Щодо нових координат квадратична форма k () приймає вигляд
k () = l1x Вў 2 + l2 y Вў 2 = 4x Вў 2 - y Вў 2. br/>
Для того, щоб з'ясувати, як перетвориться лінійна частина рівняння ми в лінійну частину рівняння (25) підставимо вирази (26). Отримуємо рівняння
4x Вў 2 - y Вў 2 + 4 + 2 - 1 = 0.
Розкриваємо дужки, наводимо подібні:
4x Вў 2 - y Вў 2 + 2y Вў - 1 = 0.
Виділимо по y Вў повний квадрат:
4x Вў 2 - (y Вў 2 - 2y Вў + () 2) + () 2 - 1 = 0. p> 4x Вў 2 - (y Вў -) 2 + 5 - 1 = 0.
Тепер робимо заміну п еременних:
x ВІ = x Вў,
y ВІ = y Вў -,
яка означає перенесення початку координат в точку O Вў (0,) Ox Вў y Вў. Отримуємо рівняння 4 (x ВІ) 2 - (y ВІ) 2 = -4. p> Його можна перетворити до канонічного виду
- (x ВІ) 2 + = 1 (27)
Дане рівняння визначає гіперболу, дійсна вісь якої спрямована вздовж осі O Вў y ВІ, а півосі дорівнюють 1 і 2.
Для того, щоб зобразити криву у вихідній системі координат, спершу необхідно зобразити осі нової системи координат. За допомогою формул (26) знаходимо координати точки в системі Oxy:
x = В· 0 + В· = 2, y =? В· 0 + В· = 1. br/>
Отже O Вў (2, 1) Oxy. Напрямок координатних осей O Вў x ВІ і O Вў y ВІ задається відповідно векторами (1, -2) і (2, 1). Ми відкладаємо ці вектори від точки O Вў і потім проводимо осі. p> Нагадаємо, що для зображення гіперболи спершу необхідно намалювати фундаментальний прямокутник (який обмежений лініями | x ВІ | = 1, | y ВІ | = 2) і провести асимптоти, які проходять через діагоналі цього прямокутника. Тепер ми вписуємо обидві гілки гіперболи в усічені кути, утворені асимптотами і сторонами прямокутника. Оскільки дійсна вісь гіперболи спрямована вздовж O Вў y ВІ, ми вибираємо ту пару кутів, ...
