прирощення а; тоді числа а + х утворюють нечітке підмножина в безлічі дійсних чисел;
) нехай Н - елемент решітки; елементи, найближчі до Н, по відношенню порядку утворюють нечітке підмножина в безлічі всіх елементів решітки.
Визначимо такі операції.
Нехай Е - безліч, М - безліч приладдя, А і В - два нечітких підмножини Е.
. Включення.
Будемо говорити, що безліч А включено в В або А міститься в В, якщо" х? Е і mА (х)? mВ (х). Це позначається наступним чином: А? В. Суворе включення відповідає випадку, коли всі нерівності строгі, і позначається А?? В.
. Рівність.
Нечіткі підмножини А і В рівні (позначення: А=В), якщо" х? Е і mА (х)=mВ (х). Якщо знайдеться, принаймні, один елемент х? Е, що це рівність не виконується, нечіткі підмножини А і В не рівні.
. Доповнення.
Нечітка підмножина називається доповненням нечіткої підмножини A, якщо" х? Е і (х)=1-mА (х).
. Перетином нечітких підмножин A і B називається нечітке підмножина А? В, функція належності якого визначається таким чином:" х? Е, mА? В (х)=min (mА (х), mВ (х)).
. Об'єднанням двох нечітких підмножин A і B називається нечітке підмножина А? В, функція належності якого визначається таким чином:
" х? Е, mА? В (х)=mах (mА (х), mВ (х)).
. диз'юнктивними сумою нечітких підмножин А і В називається нечітке підмножина А? В, яке визначається таким чином:
А? В =.
. Різницею нечітких підмножин А і В називається нечітке підмножина А-В, яке визначається таким чином: А-В =.
. Алгебраїчним твором нечітких підмножин A і B називається нечітке підмножина А · В, функція належності якого визначається таким чином:
" х? Е, mА · В (х)=m А (х)? m В (х).
. алгебраїчну суму двох нечітких підмножин А і В називається нечітке підмножина, функція належності якого визначається таким чином:
" х? Е,=m А (х) + m В (х) - m А (х)? m В (х).
. Симетрична різниця. За визначенням симетрична різниця двох множин А і В - це безліч
С=А d=(А В)? (В А).
Приклад. Проілюструємо основні операції над нечіткими підмножинами на прикладі підмножин А={(х1 | 0.2), (х2 | 0.7), (х3 | 1), (х4 | 0), (х5 | 0.5)} і В={(х1 | 0.5 ), (х2 | 0.3), (х3 | 1), (х4 | 0.1), (х5 | 0.5)}, визначених на множині Е={х1, х2, х3, х4, х5}.
А? В={(х1 | 0.2), (х2 | 0.3), (х3 | 1), (х4 | 0), (х5 | 0.5)}
А? В={(х1 | 0.5), (х2 | 0.7), (х3 | 1), (х4 | 0.1), (х5 | 0.5)}
={(х1 | 0.8), (х2 | 0.3), (х3 | 0), (х4 | 1), (х5 | 0.5)}
={(х1 | 0.5), (х2 | 0.7), (х3 | 1), (х4 | 0.9), (х5 | 0.5)}
А-В=А?={(х1 | 0.2), (х2 | 0.7), (х3 | 0), (х4 | 0), (х5 | 0.5)}
В-А=В?={(х1 | 0.5), (х2 | 0.3), (х3 | 0), (х4 | 0.1), (х5 | 0.5)}
А? В=(А?)? (В?)={(Х1 | 0.5), (х2 | 0.7), (х3 | 0), (х4 | 0.1), (х5 | 0.5)}
А · В={(х1 | 0.1), (х2 | 0.21), (х3 | 1), (х4 | 0), (х5 | 0.25)}
={(х1 | 0.6), (х2 | 0.79), (х3 | 1), (х4 | 0.1), (х5 | 0.75)}
Основні властивості операцій.
. Операції перетину та об'єднання комутативні (перестановочні): А? В=В? А; А? В=В? А.
. Операції перетину та об'єднання асоціативні.
(А? В)? С=А? (В? С)=А? У? С
(А? B)? С=А? (В? С)=А? У? С. <...