b> .
Як тільки ми визначили вектор упорядкований одновимірний масив чисел, так відразу ж ми дали собі право розглядати вектор як матрицю розмірності або. А це дає нам право застосовувати до них усю міць матричної алгебри: поняття рівності, суми або різниці, твір вектора на число та їх властивості не треба розглядати знову, досить згадати, як це робилося в розділі В«Лінійна алгебраВ». p> Але операцію множення має сенс розглянути особливо.
Скалярний добуток векторів
Нехай вектори X і Y задані в алгебраїчній формі, тоді їх скалярним твором назвемо число рівне сумі добутків відповідних координат, тобто якщо
X = (x 1 , x 2 , x 3 ... x n ) = (y 1 , y < span align = "justify"> 2 , y 3 ... y n ),
т.ч., скалярний твір X? Y визначається виразом
В
Зауваження до визначення скалярного твори
Дуже часто скалярний добуток векторів і визначають як
,
де - довжини векторів, а? кут між векторами, звідки, як наслідок визначається кут між векторами.
Кут між векторами
В
Здавалося б, цілком симпатичне визначення, але ... Таке визначення працездатне, як правило, тільки для векторів, визначених як В«спрямований відрізокВ»: довжину виміряли лінійкою, а кут - транспортиром. А як бути з алгебраїчним вектором (найчастіше саме він використовується в НЕ інженерно-фізичних завданнях), де координат може бути багато і ніякої лінійкою їх довжину не зміряти?! Ось тут-то і стає необхідним то визначення скалярного твору, який дали ми. br/>
Приклад 22 (скалярний твір і загальна ціна випущеної продукції)
Нехай деякий підприємство випустило партію товару n видів у кількостях x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n кожного виду. Ціна одиниці кожного виду товару дорівнює y 1 , y 2 , y 3 , ..., y n рублів. Яка ціна всієї партії товару?
Рішення
Ідея рішення зрозуміла: помножити ціну одиниці кожного виду товару на кількість цих одиниць, а потім усі ці твори скласти. Але вже тут видно продуктивність даного вище визначення скалярного твори векторів: сума добутків відповідних координат. А тому сформуємо два вектори:
вектор X = (x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ) - вектор випуску продукції;
вектор Y = (y 1 , y 2 , y 3 , ..., y n ) - вектор цін за одиницю кожного виду товару.
Тоді ціна всієї партії товару знайдеться як скалярний твір X? Y.
Відповідь
Ціна всієї партії товару дорівнює
В
Приклад 23 (про кількість сировини, необхідної для випуску продукції)
Припустимо, що деякий сировина використовується для виробництва n видів продукції так, що для випуску продукції i-го виду потрібно m i одиниць даної сировини. Знайти повну потребу q підприємства у сировині в сировині даного виду.
Рішення
Сформуємо два вектори:
вектор M = (m 1 , m 2
