лежність між попитом на товари або послуги і їх цінами або доходом) та інші.
Для оцінки параметрів нелінійних моделей використовуються два підходи.
Перший підхід заснований на лінеаризації моделі і полягає в тому, що за допомогою придатних перетворень вихідних змінних досліджувану залежність представляють у вигляді лінійного співвідношення між перетвореними змінними.
Другий підхід зазвичай застосовується у випадку, коли підібрати відповідне лінеарізующее перетворення не вдається. У цьому випадку застосовуються методи нелінійної оптимізації на основі вихідних змінних.
Для лінеаризації моделі в рамках першого підходу можуть використовуватися як моделі, що не лінійні по змінним, так і не лінійні за параметрами.
Якщо модель нелінійна по змінним, то введенням нових змінних її можна звести до лінійної моделі, для оцінки параметрів якої використовувати звичайний метод найменших квадратів.
Так, наприклад, якщо нам необхідно оцінити параметри регресійної моделі
, (12.1)
то, вводячи нові змінні, отримаємо лінійну модель
, (12.2)
параметри, якій знаходяться звичайним методом найменших квадратів
Більш складною проблемою є нелінійність моделі за параметрами, так як безпосереднє застосування методу найменших квадратів для їх оцінювання неможливо. До числа таких моделей можна віднести, наприклад, мультипликативную (ступеневу) модель
, (12.3)
експоненційну модель
, (12.4)
та інші.
У ряді випадків шляхом підходящих перетворень ці моделі
вдається привести до лінійної форми. Так, моделі (12.3) і (12.4) можуть бути приведені до лінійним логарифмування обох частин рівнянь. Тоді, наприклад, модель (12.3) набуде вигляду:
, (12.5)
Для оцінки тісноти зв'язку між змінними був введений вибірковий коефіцієнт лінійної кореляції. Якщо змінні корелюють один з одним, то на значенні коефіцієнта кореляції частково позначається вплив інших змінних. У зв'язку з цим часто виникає необхідність дослідити приватну кореляцію між змінними при виключенні (елімінування) впливу однієї або декількох змінних.
Вибірковим приватним коефіцієнтом кореляції (або просто приватним коефіцієнтом кореляції) між перемінними і при фіксованих значеннях інших (р - 2) змінних називається вираз
(12.6)
де і - алгебраїчні доповнення елементів і матриці вибіркових коефіцієнтів кореляції
(12.7)
Зокрема, у разі трьох змінних (n=3) випливає, що
(12.8)
Завдання 1. Вивчається залежність матеріаломісткості продукції від розміру підприємства по 10 однорідним заводам
Таблиця 12.1.
ЗаводиXYY 1z=1/xY 2e2110096,740,018,390,6220066,050,0055,430,56330055,350,0033334,440,55440044,660,00253,940,0555003.73,960,0023,650,0466003.63,270,0016673,450,14377003.52,580,0014293,310,184815066,390,0066676,41-0,41912076,600,0083337,4-0,4102503.55,700,0044,83-1,33
Обчислюємо всі необхідні середнє значення.
110224 149940 1427,5 1703,16 332 5,13
Лінійна Y1=7.4 + 0.007x
Завдання 2. Для дослідження залежності між продуктивністю праці (Х1), віком (Х2) і виробничим стажем (X3) була проведена вибірка з 100 робітників однієї і тієї ж спеціальності.
Обчислені парні коефіцієнти кореляції виявилися значущими і склали:; ;. Обчислити приватні коефіцієнти кореляції і оцінити їх значимість на рівні,=0,05.Решеніе: За формулою
Оцінимо значимість - Значення статистики t-критерію при n '= n-p + 2=100-3 + 2=99 (за абсолютною величиною)
більше табличного, отже, приватний коефіцієнт кореляції значущий.
Оцінимо значимість - Значення статистики t-критерію при n '= n-p + 2=100-3 + 2=99 (за абсолютною величиною)
більше табличного, отже, приватний коефіцієнт кореляції значущий.
Оцінимо значимість - Значення статистики t-критерію при n '= n-p + 2=100-3 + 2=99 (за абсолютною величиною)
більше табличного, отже, приватний коефіцієнт кореляції значущий.
13. Статистичні рівняння залежностей
Для вивчення залежностей соціально-економічних явищ можна використовувати метод статистичних рівнянь залежностей, розрахунок параметрів яких грунтується на визначенні коефіцієнтів порівняння факторних і результативних ознак шляхом відношення окремих значень однойменного ознаки до його мінімального або максимального рівня.
Коефіцієнти п...
