сть, Знайдемо закон розподілу X:
X
1
2
3
4
р
0,1
0,4 ​​
0.2
0,3
Контроль: 0,1 + 0,4 + 0,2 + 0,3 = 1.
Закон розподілу Повністю характерізує дискретності Випадкове величину, альо ВІН может буті невідомім; тоді корисностей є деякі Сталі величини, Які дають уявлення про випадкове величину. Такі Сталі Величини назівають числові характеристиками Випадкове величин. Серед числових характеристик особливе Значення має математичне сподівання.
Означення 4. математичность сподіванням (або середнім значенням) діскретної віпадкової Величини X назівається число, Яку дорівнює сумі добутків усіх ее можливіть значення на відповідні ймовірності:
В
Нехай випадкове величина может набуваті значень x 1 ,. x 2 , ... , Х п и ВСІ ее Значення однаково ймовірні. Тоді ймовірність шкірного з них р = 1/p.
Математичне сподівання цієї віпадкової розмірів
В
Отже, в даним разі математичность сподіванням віпадкової Величини є середнє Арифметичний всех ее можливіть значення. У загально випадка математичне сподівання віпадкової величина не буде середнім Арифметичний всех ее можливіть значення. Прото в Деяк розумінні его можна розглядаті самє так. Праворуч у тому, что в задачах практичного спрямування закон розподілу віпадкової Величини є невідомім. Тому віконують велику кількість випробувань або СПОСТЕРЕЖЕННЯ, шкірні з якіх відбувається у пріблізно однаково умів. Таку сукупність СПОСТЕРЕЖЕННЯ назівають вібіркою Із значень, якіх набуває дана величинах
Нехай у вібірці з п СПОСТЕРЕЖЕННЯ за випадкове завбільшки X ця величина п 1 разів набувала значень я х 1 , ...; п 2 разів - значення х 2 , ... ; N k разів-значение x k , причому п 1 + п 2 + ... + N k = n. Тоді сума всех значень, Які спостерігалісь, дорівнює x 1 n 1 + x 2 n 2 + ... + X k n k . Величина
В
назівається вібірковім середнім.
п. Зауважімо, что відношення n 1 /n є відносною частотою значення х 1 , n 2 /n є відносною частотою значення х 2 , n k /n є відносною частотою значення х k , причому відношення n 1 /n, n 2 /n , ..., n k /n змінюються від Вибірки до Вибірки.
прото за Достатньо Великої кількості СПОСТЕРЕЖЕННЯ п маємо набліжені рівності
В
Це означає, что математичне сподівання набліжено дорівнює (тім точніше, чім больше число СПОСТЕРЕЖЕННЯ) вібірковому СЕРЕДНЯ.
Властивості математичного сподівання:
В
Крапку з координату М (Х) назівають центром розсіяння ймовірностей. Випадкове величину X - М (Х) назівають відхіленням. Різні віпадкові Величини могут мати Одне ї ті самє математичне сподівання. Тому вінікає потреба Розглянуто ще одну числову характеристику для вімірювання ступенів розсіяння віпадкової Величини вокруг ее математичного сподівання.
Означення 5. Дісперсією віпадкової Величини назівається математичне сподівання квадрата відхілення цієї віпадкової величину.
Позначається дісперсія D (X). Отже,
В
Поряд з дісперсією розглядають такоже характеристику, яка вімірюється в тихий самих Одиниця, что и Випадкове величина.
Означення 6. Середнім Квадратичне відхіленням віпадкової Величини X назівається корінь квадратний з ее дісперсії:
В
Приклад 2. Знайте чіслові характеристики віпадкової величини, якові Розглянуто у прікладі 1 :
В
Теорема (Формула обчислення дісперсії). Дісперсія віпадкової Величини X дорівнює різніці между математичность сподіванням квадрата и квадратом математичного сподівання цієї віпадкової величин:
В
де x 1 ,. x 2 , ... , Х k Різні Значення віпадкової величини, что спостерігаються; n 1 , n 2 , ... , N k - їхні частоти; п = n 1 + п 2 + ... + П k - загальна кількість СПОСТЕРЕЖЕННЯ; х - вібіркове середнє. Величину S назівають вібірковім середнім Квадратичне, або Стандартним відхіленням. br/>
В§ 16. Закон великих чисел
У цьом параграфі розглянемо теореми про поводження суми Великої кількості Випадкове величин. Віявляється, что за Деяк порівняно Загальне умів сума...
