рная поведінка й достатньо Великої кількості Випадкове величин почти втрачає віпадковість и набуває закономірності. Наприклад, відносна частота події набліжено дорівнює ее ймовірності при Достатньо Великій кількості випробувань, середнє Арифметичний незалежних СПОСТЕРЕЖЕННЯ віпадкової Величини при Великій кількості СПОСТЕРЕЖЕННЯ набліжено дорівнює математичность сподіванню цієї величину. Тому под законом великих чисел в Теорії ймовірностей розуміють теореми, в Кожній з якіх йдет про набліження середніх характеристик великого числа випробувань до Деяк ПЄВНЄВ сталі. При доведенні теорем, Які об'єднують Єдиною назви "закон великих чисел", а такоже при розв'язуванні багатьох практичних завдань Використовують таку нерівність:
В
де Оµ> 0 - Довільне число.
Нерівність (1) назівають нерівністю Чебішова. Нерівність Чебішова дозволяє оцініті ймовірність відхілень значень віпадкової Величини від свого математичного сподівання.
Теорема Чебішова (закон великих чисел). Нехай Х 1 , Х 2 , ... , Х п , ... - Послідовність попарно незалежних Випадкове величин, что задовольняють Такі умови:
В
Перейшовші до границі при n в†’ в€ћ в нерівностях (4), дістанемо Рівність (2), яка означає, что середнє Арифметичний значень попарно незалежних Випадкове величин, колі кількість доданків Нескінченно зростає, є збіжнім за ймовірністю до СЕРЕДНЯ Арифметичний їх математичних сподівань.
В
Для практичного Використання теорему Чебішова можна тлумачіті так: коли попарно незалежні віпадкові Величини мают однакове математичне сподівання и обмежені дісперсії, то для й достатньо великих п з будь-якої точністю має місце набліжена Рівність
В
Практичне Значення теореми Чебішова можна ілюструваті таким прикладом. Нехай за помощью вимірювального приладнав багатая разів вімірюється Значення деякої ФІЗИЧНОЇ Величина, причому результат шкірного вімірювання НЕ поклади від результатів решти. Послідовні результати вимірювань - це віпадкові величина Х 1 , Х 2 , ... , Х п . Вімірювання віконується без Систематичність (одного знаку) похібок. Це означає, что математичні сподівання усіх Випадкове величин є однаково и дорівнюють істінному значень Шуканов віміру а, тоб M (X i ) = а (і = 1, 2, ..., n).
Если прилад Дає можлівість вімірюваті з ПЄВНЄВ точністю, то це означає, что дісперсії результатів вімірювання є обмеженності. Отже, віконуються умови теореми Чебішова, а того згідно з формулою (5) маємо
В
Таким чином, обчіслюючі середнє Арифметичний значень вимірювань, з великою ймовірністю можна вважаті, то багато середнє Арифметичний результатів як завгодно мало відрізняється від істінного Значення вімірюваної ФІЗИЧНОЇ величину.
Як наслідок, з теореми Чебішова можна отріматі Наступний Твердження.
Теорема Бернуллі. Нехай k - кількість Успіхів у п випробуваннях Бернуллі, а р (0 <р <1) - ймовірність успіху в кожному віпробуванні. Тоді для довільного Оµ> 0 віконується Рівність
В
Рівність (6) можна тлумачіті так: коли віконується багатая незалежних випробувань, то з імовірністю, что відносна частота появи події (число k/n) мало відрізняється від імовірності p події А.
У багатьох випадка на практіці число p Буває невідомім. Із теореми Бернуллі віпліває, что відносну частоту появи події А (число k/n) при Достатньо великому п можна взяти за ймовірність події. Теорема Бернуллі є найпростішою формою закону великих чисел. br/>
